Enunciado

Resultados numéricos da solução de Blasius para as equações de Prandtl da camada limite são apresentados na Tabela 9.1. Considere o escoamento em regime permanente, incompressível, de ar-padrão sobre uma placa com a velocidade de corrente livre U = 5 m / s . Em x = 20 c m , estime a distância da superfície para qual u = 0,95 U . Avalie a inclinação da linha de corrente que passa por esse ponto. Obtenha uma expressão algébrica para o atrito de superfície local, τ w ( x ) . Obtenha uma expressão algébrica para a força de arrasto total de atrito de superfície sobre a placa. Avalie a espessura de quantidade de movimento para L = 1   m .

Passo 1

Ih tem ele pediu bastante coisa, né? Haha

Mas calma, vamos por partes. Precisamos achar:

- o valor de y (distância da superfície) quando u = 0,95 U , em x = 20 c m .

- a inclinação da linha de corrente nesse ponto: d y d x = υ u

- expressão para τ w ( x )

- expressão para a força total de arrasto F D

- expessura de quantidade de movimento θ L para L = 1 m

Isso tudo para U = 5 m / s . Vamos lá

Passo 2

Podemos lembrar que por Blasius:

u = U f ' η ,     η = y   U ν x

Então:

u U = f ' ( η )

A gente quer y quando u U = 0,95 . Juntando essa informação com a equação acima:

u U = f ' η = 0,95

Aí a gente precisa olhar na nossa tabela de resultados numéricos de Blasius. Lá não tem f ' η = 0,95 exatamente, mas tem:

f ' η = 0,9130 ,     η = 3,5

f ' η = 0,9555 ,     η = 4,0

A gente pode estimar f ' η = 0,95 usando proporção:

0,9555 - 0,9130 4,0 - 3,5 = 0,955 - 0,95 4,0 - η

Resolvendo essa equação:

η = 3,94

Passo 3

Com o valor de η , a gente pode usar essa equação:

    η = y   U ν x ∴ y = η ν x U

Substituindo todos os valores que a gente tem até agora e considerando ν = 1,5 ⋅ 10 - 5 m 2 / s para o ar a 20 ° C :

y = 3,94 1,5 ⋅ 10 - 5 ⋅ 0,2 5 = 0,305 c m

Passo 4

Agora a gente quer a inclinação da linha de corrente nesse ponto que acabamos de achar.

A inclinação da linha de corrente tem essa carinha:

d y d x = υ u

A partir das equações de Blasius a gente descobre que:

u = U f ' η

υ = 1 2 ν U x η f ' ( η ) - f η

Reescrevendo a linha de corrente com esses valores:

d y d x = υ u = 1 2 ν U x η f ' η - f η U f ' η

No ponto que a gente quer η = 3,94 . Aí se você reparar a gente tem quase todos os valores para calcular a inclinação, só falta f ( 3,94 ) .

Vamos usar proporção de novo:

f η = 1,8377 ,     η = 3,5

f η = 2,3057 ,     η = 4,0

2,3057 - 1,8377 4,0 - 3,5 = 2,3057 - f ( η ) 4,0 - 3,94

f η = 2,25

Agora a gente tem tudinho, só jogar os valores na fórmula da inclinação:

d y d x = 1 2 1,5 ⋅ 10 - 5 ⋅ 5 0,2 3,94 ⋅ 0,95 - 2,25 5 ⋅ 0,95 = 0,00304

Além disso, a gente pode reescrever nossa fórmula, jogando o U para dentro da raiz:

d y d x = 1 2 ν U x η f ' η - f η U f ' η = ν x U η f ' η - f η 2 f ' η

Lembrando que:

R e x = x U ν

d y d x = η f ' η - f η 2 f ' η R e x

Passo 5

Chegou o momento de acharmos uma expressão para τ w ( x ) . Vem comigo!

Para esse cisalhamento na parede, a gente precisa fazer:

τ w = μ ∂ u ∂ y + ∂ υ ∂ x ,   y = 0

Lembrando que

u = U f ' η ,     η = y   U ν x

υ = 1 2 ν U x η f ' ( η ) - f η

Vamos substituir uma na outra e fazer y = 0 :

τ w = μ ∂ U f ' η ∂ y + ∂ 1 2 ν U x η f ' η - f η ∂ x

A derivada da direita zera porque η = 0 ,   f η = 0 em y = 0 .

Então ficamos com:

τ w = μ ∂ U f ' η ∂ y = μ U ∂ f ' η ∂ y

Pela regra da cadeia:

τ w = μ U ∂ f ' ∂ η ∂ η ∂ y = μ U f ' ' ( η ) U ν x  

y = 0 ∴ η = 0 ∴ f ' ' 0 = 0,3321

τ w = μ U ⋅ 0,3321 ρ U μ x = 0,3321 U ρ U μ x

Multiplicando tudo por ρ U ρ U , arrumando e substituindo R e x = ρ x U μ :

τ w = 0,3321 ρ U 2 R e x

Passo 6

Para achar a expressão para a força de arrasto total, precisamos calcular a integral:

F D = ∫ τ w d A

Considerando b como largura da placa e L como comprimento:

d A = b d x

0 < x < L

F D = ∫ 0 L 0,3321 U ρ U μ x b d x = 0,3321 U b ρ U μ ∫ 0 L x - 1 2 d x = 0,3321 U b ρ U μ ⋅ 2 L

F D = 0,6642 U b ρ U μ L

Multiplicando tudo por ρ U L ρ U L , arrumando e substituindo R e L = ρ L U μ :

F D = 0,6642 b L ρ U 2 R e L

Passo 7

Para finalizar, vamos achar a expessura de quantidade de movimento θ para L = 1 m .

Pela equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ U 2 = d θ d x ∴ d θ = τ w ρ U 2 d x

Integrando os dois lados, lembrando que 0 < x < L :

θ L = ∫ 0 L τ w ρ U 2 d x = 1 ρ U 2 ∫ 0 L τ w d x

Ih essa integral parece F D , mas sem o b . Vamos reescrever:

θ L = 1 ρ U 2 F D b =   0,6642 L R e L  

Lembrando que:

R e L = U L ν

Substituindo os valores do enunciado nessas expressões aí e considerando ν = 1,5 ⋅ 10 - 5 m 2 / s para o ar a 20 ° C :

R e L = 3,33 ⋅ 10 5

θ L = 0,00115   m = 0,115   c m

Resposta

y = 0,305 c m

d y d x = η f ' η - f η 2 f ' η R e x

τ w = 0,3321 ρ U 2 R e x

θ L = 0,115   c m

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