Enunciado

Considere o escoamento entre duas grandes placas paralelas isotérmicas separadas por uma distância L . A placa superior se desloca a uma velocidade constante V e é mantida a uma temperatura T 0 enquanto a placa inferior está parada e isolada. Simplificando e resolvendo as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de energia, obtenha as relações para temperatura máxima do fluido, local em que ela ocorre e o fluxo de calor na placa superior.

Passo 1

Em primeiro lugar vamos desenhar nossa situação.

Pronto. Agora sim podemos começar. Para esse sistema o problema pede para resolver as equações de continuidade, quantidade de movimento e energia e, após isso obter a temperatura máxima, o local em que ela ocorre e o fluxo de calor na placa superior. Vamos por partes.

A equção da continuidade será nosso ponto de partida. Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

δ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Em que u é a velocidade do fluido na direção x e v é a velocidade do fluido na direção y .

Vamos assumir que o escoamento do fluido é paralelo às placas, assim, v = 0 . Então:

δ u ∂ x = 0

u = u ( y )

O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u d y = μ   ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ P ∂ x

Como vimos anteriormente v = 0 e δ u ∂ x = 0 ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido a diferença de pressão, ∂ P ∂ x = 0 .

Portanto:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Integrando em y:

∫ ∂ 2 u ∂ y 2 d y = ∫ 0 d y

∂ u ∂ y = C 1

Integrando novamente:

∫ ∂ u ∂ y d y = ∫ C 1 d y

u = C 1 y + C 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes C 1 e C 2 . Para a velocidade u ( y ) as condições de contorno são:

u 0 = V

u L = 0

Em que L é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

V = C 1 x 0 + C 2 → C 2 = V

0 = C 1 x L + C 2   → C 1 = - V L

O perfil de velocidade é:

u y = V - V y L

u y = V 1 - y L

Passo 2

Vamos tratar agora da equação da energia. Para o escoamento entre duas placas planas paralelas a equação é:

ρ c p μ ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = k   ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

Como v = 0 e só ocorre transferência de calor na direção y :

∂ T ∂ x = 0

v ∂ T ∂ y = 0

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Portanto ficamos com:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ∂ u ∂ y 2

Temos condições de calcular ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y V 1 - y L

∂ u ∂ y = - V L

Substituindo no balanço de energia:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ - V L 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ V 2 L 2

∂ 2 T ∂ y 2 = -   μ V 2 k L 2

Integrando em y :

∫ ∂ 2 T ∂ y 2 d y = - ∫ μ V 2 k L 2 d y

∂ T ∂ y = -   μ V 2 k L 2 y + C 1

Integrando em y mais uma vez:

∫ ∂ T ∂ y d y = ∫ ( - μ V 2 k L 2 y + C 1 ) d y

T y = - μ V 2 2 k L 2 y 2   + C 1 y + C 2

As condições de contorno são:

T 0 = T 0

q ˙ y = L = - k ∂ T ∂ y y = L = 0

A primeira se refere à temperatura do mancal e a segunda condição é que o fluxo de calor pela placa inferior é zero, já que ela está isolada. Aplicando as condições de contorno:

T 0 = - μ V 2 2 k L 2 x 0 2   + C 1 x 0 + C 2 → C 2 = T 0

∂ T ∂ y = -   μ V 2 k L 2 y + C 1

- k ∂ T ∂ y y = L = 0

∂ T ∂ y y = L = 0 = -   μ V 2 k L 2 x L + C 1 → C 1 = μ V 2 k L

Substituindo as constantes C 1 e C 2 no perfil de temperatura:

T y = T 0 + μ V 2 k L y - μ V 2 2 k L 2 y 2  

T y = T 0 + μ V 2 k L y - y 2 2 L

Com o perfil de temperatura podemos calcular o ponto de máxima temperatura. Uma breve lembrança dos tempos de cálculo: pontos de máximo ou mínimo de uma função f ( y ) são pontos em que a derivada ∂ f ∂ y = 0 . Então, o que vamos fazer é derivar T ( y ) em relação a y e igualar a zero.

∂ T ∂ y = ∂ ∂ y T 0 + μ V 2 k L y - y 2 2 L = 0

μ V 2 k L 1 - y L = 0

1 - y L = 0

1 = y L

y = L

Encontramos a posição y em que ocorre a temperatura máxima. Vamos agora aplicar este ponto no perfil de temperatura para encontrar a temperatura máxima do sistema:

T y = T 0 + μ V 2 k L y - y 2 2 L

T y = T 0 + μ V 2 k L L - L 2 2 L

T y = T 0 + μ V 2 k L L - L 2

T y = T 0 + μ V 2 k L L 2

T y = T 0 + μ V 2 2 k

Passo 3

Por fim, vamos determinar a taxa de transferência de calor da placa superior ( y = 0 ):

q ˙ y = 0 = - k ∂ T ∂ y y = 0

Já calculamos a derivada de T em relação a y . Podemos então substituir a expressão que encontramos:

q ˙ y = 0 = - k μ V 2 k L 1 - y L y = 0

q ˙ y = 0 = - k μ V 2 k L

q ˙ y = 0 = - μ V 2 L

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O ar com umidade relativa de 80%a35 ° Ce1a t m envolve as faces de uma placa-plana vertical parada de 2,15m de altura, em que ambas as faces estão embutidas por uma fina película aderente de água tamb
Considere uma placa-plana parada de naftaleno de 1m de comprimento por 1m de largura, encontrada em pé em uma parede, sendo que a outra face está em contato com o ar seco. Considerando que haja convec
Refaça os exercícios (9) e (10), considerando:a) t = 50 ° C ; v ∞ = 0,1m / h ;b) t = 50 ° C ; v ∞ = 0,2m / h
Considere um transístor para montagem sobre a superfície de um circuito integrado cuja temperatura é mantida a 35°C. Ar a 20°C escoa sobre a superfície superior, de dimensões 4 mm por 8 mm, com um coe
Células-combustível isoladas, como a do Exemplo 1.4, podem ser escalonadas através de sua organização em uma pilha de células-combustível. Uma pilha é constituída por múltiplas membranas eletrolíticas