Enunciado

Considere o escoamento entre duas grandes placas paralelas isotérmicas separadas por uma distância L . A placa superior se desloca a uma velocidade constante V e é mantida a uma temperatura T 0 enquanto a placa inferior está parada e isolada. As relações para temperatura máxima do fluido, local em que ela ocorre e a equação de fluxo de calor são dadas a seguir:

T m á x y = T 0 + μ V 2 2 k

Que ocorre em y = L

q ˙ = - μ V 2 L 1 - y L

A partir disso, obtenha a relação para taxa volumétrica de geração de calor e ˙ g e r em W/m3. Expresse o problema de convecção como problema de condução equivalente na camada de óleo. Verifique seu modelo, resolvendo o problema de condução e obtenha a relação para temperatura máxima, que deverá ser idêntica à obtida na análise de convecção.

Passo 1

Em primeiro lugar vamos desenhar nossa situação.

O nosso fluxo é dado por q ˙ = - μ V 2 L 1 - y L . Como sabemos fluxo representa uma quantidade por tempo que atravessa uma área. Para o nosso caso de transferência de calor energia ( J ) por tempo ( s ) por área superficial da placa ( m 2 ), considerando sistema internacional.

J s m 2

Como J s = W , nossa unidade de fluxo é W / m 2 . Para convertermos fluxo para taxa volumétrica de geração de calor e ˙ g e r em W/m3 devemos então multiplicar pela área superficial ( m 2 ) e dividir pelo volume de fluido ( m 3 ).

e ˙ g e r = q ˙ x A V o l u m e

e ˙ g e r = - μ V 2 L 1 - y L x X Z X Z L

e ˙ g e r = - μ V 2 L 2 1 - y L

Passo 2

Vamos tratar agora o problema como se fosse a condução de calor através do óleo. Como sabemos o fluxo de calor por condução é dado por:

q ˙ = - k ∂ T ∂ y

Também sabemos que a temperatura na superfície superior do óleo é T 0 e a temperatura na superfície inferior é T m á x . Para fazer os deltas vamos considerar que o ponto inicial é em y = 0 e o final é em y = L . Pelo enunciado sabemos que o fluxo deve ser:

q ˙ = - μ V 2 L 1 - y L

Igualando as duas equações de fluxo:

- μ V 2 L 1 - y L = - k ∂ T ∂ y

μ V 2 k L 1 - y L ∂ y = ∂ T

Integrando de y = 0 até y = L e de T = T 0 até T = T m á x :

∫ 0 L μ V 2 k L 1 - y L ∂ y = ∫ T 0 T m á x ∂ T

μ V 2 k L y - y 2 2 L 0 L = T T 0 T m á x    

μ V 2 k L L - L 2 = T m á x - T 0

T m á x = T 0 + μ V 2 2 k

Que é a mesma relação dada pelo enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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