Enunciado

Considere uma extensa parede plana de espessura L = 0 , 4   m e condutividade térmica k = 8,4   W / m ⋅ K . Não há acesso ao lado interno da parede em x = 0 , por isso as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Entretanto, sabe-se que a superfície externada da parede em x = L , cuja emissividade é ϵ = 0,7 , troca calor por convecção com ar ambiente em temperatura T ∞ = 25   ° C , com coeficiente médio de transferência de calor h = 14   W / m 2 ⋅ K , bem como por radiação com as superfícies ao redor, que se encontram a uma temperatura média T c i r = 290   K . Além disso, a temperatura da superfície externa mede T 2 = 45   ° C . Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor através da placa, (b) obtenha a relação para temperatura da superfície externa da placa resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a temperatura da superfície interna da parede em x = 0 .

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, sem geração de calor, condutividade térmica constante e com radiação térmica.

Como estamos trabalhando com uma placa, vamos utilizar o sistema de coordenadas retangular. Levando em consideração as nossas hipóteses, a EDO que rege o nosso problema é:

d 2 T d x 2 = 0

Agora, precisamos discutir as condições de contorno que o nosso problema está sujeito, e ambos estão relacionados a superfície externa. Primeiramente, sabemos que a temperatura a qual a superfície está sujeita. Portanto,

T L = 45   ° C

Já a outra é condição é condução de calor na superfície. Nela, temos a presença de convecção e radiação. Portanto,

- k d T d x x = L = h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4

Passo 2

Agora, precisamos resolver a nossa EDO e utilizar as condições de contorno, pois, determinar a variação de temperatura na parede nada mais é do que determinar a distribuição de temperatura nela. Portanto, temos:

d 2 T d x 2 = 0  

d T d x = C 1

T x = C 1 x + C 2

Aplicando ambas as condições de contorno, temos o seguinte sistema:

T L = C 1 ⋅ L + C 2 = 45   ° C - k C 1 = h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4

Resolvendo o sistema, vamos obter a seguinte equação para a distribuição de temperatura:

T x = C 1 x + 45 - C 1 L

T x = h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4 k L - x + 45

Substituindo os valores das constantes, temos:

T x = 48,2 0,4 - x + 45

E esta é a distribuição de temperatura na parede.

Passo 3

Por fim, vamos obter a temperatura na superfície interna da parede. Substituindo x = 0 na equação que descobrimos no Passo 2, temos:

T 0 = 64,3   ° C

E é isto aí!

Resposta

  1. A EDO é:
  2. d 2 T d x 2 = 0

    E as condições de contorno são:

    T L = 45   ° C

    - k d T d x x = L = h T L - T ∞ + ϵ σ T L + 273 4 - T c i r 4

  3. A distribuição de temperatura na parede é:
  4. T x = 48,2 0,4 - x + 45

  5. A temperatura na superfície interna é

T 0 = 64,3   ° C

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