Enunciado

A temperatura de ebulição do nitrogênio ao nível do mar (pressão atmosférica de 1 atm) é -196 °C. Logo, o nitrogênio é usado em estudos científicos a baixas temperaturas, já que a temperatura do nitrogênio líquido em um tanque aberto permanecerá constante em -196 °C enquanto houver nitrogênio líquido no tanque. Qualquer transferência de calor para o tanque resulta em evaporação de parte do nitrogênio líquido, que tem calor de vaporização de 198   k J / k g e densidade de 810   k g / m 3 a 1 atm.

Considere um tanque esférico de parede espessa, raio interno r 1 = 2   m , raio externo r 2 = 2,1   m e condutividade térmica constante k = 12   W / m ⋅ K . O tanque está inicialmente cheio de nitrogênio líquido a 1 atm e -196 °C exposto ao ar a uma temperatura ambiente T ∞ = 20   ° C , com coeficiente de transferência de calor h = 35   W / m 2 ⋅ K . A temperatura da superfície interna do tanque esférico permanece praticamente igual à temperatura do nitrogênio em seu interior. Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor através do tanque, (b) obtenha a relação para a variação de temperatura do tanque resolvendo a equação diferencial e (c) determine a taxa de evaporação do nitrogênio líquido no tanque como resultado da transferência de calor do ar ambiente.

Passo 1

Vamos lá! Nosso ponto de partida é entender quais as condições que o nosso problema está sujeito, isto é, quais são as nossas hipóteses!

Temos um problema de calor unidimensional em regime permanente, sem geração de calor e com condutividade térmica constante.

Como estamos trabalhando com uma esfera, vamos utilizar o sistema de coordenadas esférico. Portanto, temos a seguinte equação diferencial que rege o nosso problema:

1 r 2 d d r r 2 d T d r = 0

Agora, vamos descrever as condições de contorno do nosso problema. Temos temperatura constante na superfície interna e convecção na superfície externa. Portanto, as condições de contorno são:

T r 1 = T i = - 196   ° C

- k ∂ T ∂ r r = 2 = h T r 2 - T ∞

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa EDO. Integrando-a duas vezes, temos:

1 r 2 d d r r 2 d T d r = 0 ⟹ d d r r d T d r = 0

r 2 d T d r = C 1 ⟹ d T d r = C 1 r 2

T r = - C 1 r + C 2

Para podermos finalizar a equação que define a variação de temperatura, precisamos descobrir quem são as suas duas constantes. Para isto, utilizaremos as condições de contorno do nosso problema. Da temperatura constante na superfície interna, temos:

T r 1 = - C 1 r 1 + C 2 = - 196   ° C ⟹ C 2 = - 196 + C 1 r 1

Já em relação a segunda condição de contorno, temos:

- k C 1 r 2 2 = h - C 1 r 2 + C 2 - T ∞

- k C 1 r 2 2 = h - C 1 r 2 - 196 + C 1 r 1 - T ∞

C 1 = 196 + T ∞ 1 r 1 - 1 r 2 + k h r 2 2 = 196 + 20 1 2 - 1 2,1 + 12 35 ⋅ 2,1 2 = 2126,9   ° C ⋅ m

Voltando para descobrir quem é C 2 , temos:

C 2 = - 196 + 2126,9 2 = 867,5   ° C

Substituindo estes valores na equação da variação de temperatura, obtemos:

T r = - 2126,9 r + 867,5

Passo 3

Agora, precisamos determinar a taxa de evaporação do nitrogênio. Para isto, precisamos descobrir a taxa de transferência de calor da esfera para o ambiente. Este calor que a esfera “absorve” é o calor responsável pela mudança de fase do nitrogênio.

Começando então pela taxa de transferência de calor, temos:

Q ˙ = - k A s d T d r r 2 = - k ⋅ 4 π r 2 2 ⋅ 2126,9 r 2 2  

Q ˙ = - 12 ⋅ 4 π ⋅ 2,1 2 ⋅ 2126,9 2,1 2

Q ˙ = - 320,73   k W

É importante observarmos o sinal da nossa resposta. O sinal negativo significa que a transferência de calor não é para fora do tanque, mas sim para dentro. Isto era o esperado, visto que o tanque absorve calor do ambiente para o nitrogênio evaporar (temperatura do tanque menor que a temperatura do ambiente).

Agora, nos basta calcularmos a taxa de evaporação do nitrogênio. Utilizando o calor de vaporização, temos:

m ˙ = 320,73 ⋅ 10 3 198 ⋅ 10 3 = 1,62   k g / s

Resposta

  1. A equação diferencial e as condições de contorno são:
  2. 1 r 2 d d r r 2 d T d r = 0

    T r 1 = T i = - 196   ° C

    - k ∂ T ∂ r r = 2 = h T r 2 - T ∞

  3. A variação de temperatura no tanque é:
  4. T r = - 2126,9 r + 867,5

  5. A taxa de evaporação de nitrogênio:

m ˙ = 1,62   k g / s

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