Enunciado

Considere um filme viscoso de líquido escoando uniformemente pelo lado de uma haste vertical de raio a, como na figura abaixo. Em algum ponto abaixo na haste o filme se aproximará de um escoamento drenante terminal ou totalmente desenvolvido de raio externo b constante, com v z = v z r , v θ = v r = 0 . Considere que a atmosfera não oferece resistência de cisalhamento ao movimento do filme. Deduza uma equação diferencial para v z , defina as condições de contorno apropriadas e resolva a distribuição de velocidade do filme. Como o raio b do filme se relaciona com a vazão volumétrica Q total do filme?

Passo 1

Tudo bem, genteee?!! Então, vamos começar nossas aventuras com a mecânica dos fluidos? Olha que maneiro!!! O enunciado já disse pra gente qual será a coordenada de interesse para termos o perfil de velocidade, certo? Ele disse pra gente que será a componente z a importante. Além disso, ele disse que nosso escoamento é completamente desenvolvido, o que indica que o perfil de velocidade não vai mais variar na direção do escoamento, em outras palavras, ∂ ∂ z = 0 . Além disso, vamos considerar regime estacionário, ou seja, ∂ ∂ t = 0 .

Vamos olhar primeiro a equação da continuidade e considerar um fluido incompressível, ou seja, densidade constante!!!

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ r ρ v r ∂ r + 1 r ∂ ρ v θ ∂ θ + ∂ ρ v z ∂ z = 0

∂ v θ ∂ θ = 0

A equação de Navier Stokes em coordenadas cilíndricas é:

Passo 2

Com nossas simplificações, incluindo aquela que encontramos como resultado da equação da continuidade ao final temos algo do tipo:

- ρ g z μ 0 = 1 r d d r r d v z d r

Vamos integrar essa belezinha?

- ρ g z μ 0 r 2 2 + C 1 = r d v z d r

- ρ g z μ 0 r 2 + C 1 r d r = d v z

- ρ g z μ 0 r 2 4 + C 1 ln ⁡ r + C 2 = v z

Passo 3

As condições de contorno desse belezura nos dizem que em u a = 0 (condição de não deslizamento) e que μ ∂ v z ∂ r ​ b = 0 para encontrar nossas constantes!!

v z = ρ g b 2 2 μ 0 ln ⁡ r a - ρ g 4 μ 0 ( r 2 - a 2 )

Passo 4

Para encontrarmos a vazão volumétrica, precisamos integrar o perfil de velocidade em torno da seção transversal que está ocorrendo o escoamento. Bem, aqui será uma integral dupla pois precisamos variar o raio de escoamento e o ângulo que estamos capturando. Percebemos que nossa equação de perfil de velocidade não depende do ângulo, mas somente do raio, então ao fazermos a integral dupla, e integrarmos em θ teremos já um fator 2 π , certo?

Q = ∫ a b v z 2 π r d r = π ρ g a 4 8 μ - 3 b a 4 - 1 + 4 b a 2 + 4 b a 4 ln ⁡ b a

Resposta

Q = π ρ g a 4 8 μ - 3 b a 4 - 1 + 4 b a 2 + 4 b a 4 ln ⁡ b a

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