Enunciado

Considere a forma modificada do escoamento Couette na qual há dois líquidos imiscíveis entre duas placas planas, paralelas e infinitamente longas (Figura P 9 - 94 ). O escoamento é permanente, incompressível, paralelo e laminar. A placa superior se move a uma velocidade V para a direita, e a placa inferior está estacionária. A gravidade age na direção - z (para baixo na figura). Não há gradiente de pressão empurrando os fluidos através do canal – o escoamento se estabelece somente pelos efeitos viscosos criados pela placa superior em movimento. Você pode ignorar os efeitos da tensão superficial e considerar que a interface seja horizontal. A pressão na parte inferior do escoamento ( z = 0 ) é P 0 .

(a) Liste todas as condições de contorno apropriadas de velocidade e pressão.

(b) Resolva para o campo de velocidade.

(c) Resolva para o campo de pressão.

(d) Seja o fluido 1 a água e o fluido 2 óleo novo de motor, ambos a 80 ° C . Faça também h 1 = 5,0   m m , h 2 = 8,0   m m e V = 10,0   m / s . Desenhe o gráfico de u como uma função de z através de todo o canal. Discuta os resultados.

Passo 1

Temos então duas camadas de fluidos imiscíveis confinados no espaço entre duas placas paralelas. Em algum momento, a placa superior é colocada em movimento com uma velocidade V na direção x , fazendo com que os fluidos comecem a escoar. Tudo bem até aqui?

Sabemos também que não há gradiente de pressão na direção x e que a gravidade atua no sentido de – z . Com base nisso, no item (a) devemos dizer quais são as condições de contorno para o problema. Vamos lá?

Começando com a pressão, com não há gradiente de pressão na direção x podemos dizer que:

P = P ( z )

Também, temos do enunciado que:

P z = 0 = P 0

Vamos agora para as condições de contorno de velocidade. Pela hipótese da aderência:

u f l u i d o = u s u p e r f í c i e

Então:

u z = 0 = 0

u z = h 1 + h 2 = V

Outra condição de contorno é referente à interface. Na interface, as velocidades dos dois fluidos devem ser iguais. Ou seja:

u 1 z = h 1 = u 2 ( z = h 1 )

Em que u 1 é a velocidade do fluido 1 e u 2 do fluido 2 .

As tensões superficiais e a pressão dos fluidos também devem ser iguais na interface:

τ x z ,   1 = τ x z ,   2

- μ 1 ∂ u 1 d z z = h 1 = - μ 2 ∂ u 2 d z z = h 1

P 1 z = h 1 = P 2 ( z = h 1 )

Além disso, vamos considerar que as demais componentes da velocidade são nulas:

v = 0

w = 0

Passo 2

Agora que listamos as condições de contorno vamos para o item (b). Devemos obter o perfil de velocidades. Para isso, vamos analisar os dois fluidos separadamente.

Começando pelo fluido 1 , nosso primeiro passo para encontrar o perfil de velocidade é aplicar a equação da continuidade para coordenadas cartesianas:

∂ ρ 1 ∂ t + ρ 1 ∂ u 1 ∂ x + ∂ v 1 ∂ y + ∂ w 1 ∂ z = 0

Assumindo que estamos em regime permanente e, que como mencionamos no item (a) apenas a componente u da velocidade é não-nula:

∂ ρ 1 ∂ t = 0 ;

v 1 = 0 → ∂ v 1 ∂ y = 0 ;

w 1 = 0 → ∂ w 1 ∂ z = 0

Nossa equação se reduz à:

ρ 1 ∂ u 1 ∂ x = 0

∂ u 1 ∂ x = 0

Então, concluímos que u 1 não depende da direção x . Ou seja:

u 1 = u 1 ( z )

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidade será aplicar a equação de Navier-Stokes.

Passo 3

Como só temos velocidade na direção x , vamos aplicar a equação de Navier-Stokes para esta componente:

ρ 1 ∂ u 1 d t + u 1 ∂ u 1 d x + v 1 ∂ u 1 d y + w 1 ∂ u 1 d z = - d P d x + ρ 1 g x + μ 1 ∂ 2 u 1 d x 2 + ∂ 2 u 1 d y 2 + ∂ 2 u 1 d z 2

Vamos agora analisar cada termo da equação. Começando pelo lado esquerdo, estamos considerando um processo em regime estacionário e que as componentes de velocidade v 1 e w 1 são nulas. Além disso, vimos pela equação da continuidade que u 1 = u 1 ( z ) . Então:

∂ u 1 d t = 0 ;

∂ u 1 d x = 0 → u 1 ∂ u 1 d x = 0 ;

v 1 = 0 → v 1 ∂ u 1 d y = 0 ;

w 1 = 0 → w 1 ∂ u 1 d z = 0

E o lado esquerdo da equação fica:

ρ 1 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora olhar os termos do lado direito.

Como mencionamos no item (a), não há gradiente de pressão na direção x e, a gravidade atua apenas no sentido de – z . Além disso, também vimos que u 1 = u 1 ( z ) , então:

d P d x = 0 ;

ρ 1 g x = 0 ;

∂ 2 u 1 d x 2 = 0 ;

∂ 2 u 1 d y 2 = 0

A equação de Navier-Stokes se reduz à:

0 = 0 + 0 + μ 1 0 + 0 + ∂ 2 u 1 d z 2

μ 1 ∂ 2 u 1 d z 2 = 0

∂ 2 u 1 d z 2 = 0

Passo 4

Como a segunda derivada em relação a z é nula, podemos dizer que:

∂ u 1 ∂ z = C 1

Em que C 1 é uma constante. Integrando com relação à ∂ z :

∫ ∂ u 1 ∂ z ∂ z = ∫ C 1 ∂ z

u 1 = C 1 z + C 2

Aplicando a primeira condição de contorno:

u 1 z = 0 = 0

0 = C 1 × 0 + C 2 → C 2 = 0

E o perfil fica:

u 1 = C 1 z

Antes de obter C 1 vamos determinar o perfil de velocidade do fluido 2 .

Passo 5

Para chegar ao perfil de velocidades do fluido 2 , nosso primeiro passo é aplicar a equação da continuidade para coordenadas cartesianas:

∂ ρ 2 ∂ t + ρ 2 ∂ u 2 ∂ x + ∂ v 2 ∂ y + ∂ w 2 ∂ z = 0

Como estamos em regime permanente e, apenas a componente u da velocidade é não-nula:

∂ ρ 2 ∂ t = 0 ;

v 2 = 0 → ∂ v 2 ∂ y = 0 ;

w 2 = 0 → ∂ w 2 ∂ z = 0

Nossa equação se reduz à:

ρ 2 ∂ u 2 ∂ x = 0

∂ u 2 ∂ x = 0

Então, concluímos que u 2 não depende da componente x . Ou seja:

u 2 = u 2 ( z )

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidade será aplicar a equação de Navier-Stokes.

Passo 6

Como só temos velocidade na direção x , iremos aplicar a equação de Navier-Stokes apenas para esta componente:

ρ 2 ∂ u 2 d t + u 2 ∂ u 2 d x + v 2 ∂ u 2 d y + w 2 ∂ u 2 d z = - d P d x + ρ 2 g x + μ 2 ∂ 2 u 2 d x 2 + ∂ 2 u 2 d y 2 + ∂ 2 u 2 d z 2

Vamos novamente analisar cada termo da equação. Começando pelo lado esquerdo, temos um processo em regime estacionário e as componentes de velocidade v 2 e w 2 são nulas. Além disso, vimos pela equação da continuidade que u 2 = u 2 ( z ) . Então:

∂ u 2 d t = 0 ;

∂ u 2 d x = 0 → u 2 ∂ u 2 d x = 0 ;

v 2 = 0 → v 2 ∂ u 2 d y = 0 ;

w 2 = 0 → w 2 ∂ u 2 d z = 0

E o lado esquerdo da equação se reduz à:

ρ 2 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora olhar os termos do lado direito.

Não temos gradiente de pressão na direção x e, a gravidade atua apenas no sentido de – z . Além disso, u 2 = u 2 ( z ) , então:

d P d x = 0 ;

ρ 2 g x = 0 ;

∂ 2 u 2 d x 2 = 0 ;

∂ 2 u 2 d y 2 = 0

E a equação de Navier-Stokes é reduzida para:

0 = 0 + 0 + μ 2 0 + 0 + ∂ 2 u 2 d z 2

μ 2 ∂ 2 u 2 d z 2 = 0

∂ 2 u 2 d z 2 = 0

Passo 7

Como a segunda derivada em relação a z é nula, podemos dizer que:

∂ u 2 ∂ z = C 3

Em que C 3 é uma constante. Integrando com relação à ∂ z :

∫ ∂ u 2 ∂ z ∂ z = ∫ C 3 ∂ z

u 2 = C 3 z + C 4

Aplicando as condições de contorno:

u 2 z = h 1 + h 2 = V

u 1 z = h 1 = u 2 ( z = h 1 )

V = C 3 × ( h 1 + h 2 ) + C 4

C 1 h 1 = C 3 h 1 + C 4

Subtraindo a segunda equação da primeira:

V - C 1 h 1 = C 3 h 1 + C 3 h 2 + C 4 - C 3 h 1 - C 4

V - C 1 h 1 = C 3 h 2 → C 3 = V - C 1 h 1 h 2

Substituindo C 3 na primeira relação:

V = V - C 1 h 1 h 2 × h 1 + h 2 + C 4

C 4 = V - V - C 1 h 1 h 2 × h 1 + h 2

Aplicando C 3 e C 4 no perfil u 2 :

u 2 = V - C 1 h 1 h 2 z + V - V - C 1 h 1 h 2 × h 1 + h 2

Resta ainda obter C 1 . Para isso, vamos aplicar a condição de contorno em relação à tensão superficial na interface:

- μ 1 ∂ u 1 d z z = h 1 = - μ 2 ∂ u 2 d z z = h 1

μ 1 ∂ C 1 z d z z = h 1 = μ 2 ∂ V - C 1 h 1 h 2 z + V - V - C 1 h 1 h 2 × h 1 + h 2 d z z = h 1

μ 1 C 1 = μ 2 V - C 1 h 1 h 2

μ 1 C 1 = μ 2 V h 2 - μ 2 C 1 h 1 h 2

C 1 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 = μ 2 V h 2

C 1 = μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2

Substituindo C 1 nos perfis de velocidade u 1 e u 2 :

u 1 = μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 z

u 2 = V - μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 h 1 h 2 z + V - V - μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 h 1 h 2 × h 1 + h 2

u 2 = V + V - μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 h 1 h 2 × z - h 1 - h 2

Passo 8

Vamos agora para o item (c). Neste item devemos obter o perfil de pressão entre as placas.

Para isso, vamos seguir a mesma estratégia do item (b) e analisar cada fluido separadamente. Começando pelo fluido 1 vamos aplicar a equação de Navier-Stokes para a componente z :

ρ 1 ∂ w 1 ∂ t + u 1 ∂ w 1 ∂ x + v 1 ∂ w 1 ∂ y + w 1 ∂ w 1 ∂ z = - ∂ P 1 ∂ z + ρ 1 g z + μ 1 ∂ 2 w 1 ∂ x 2 + ∂ 2 w 1 ∂ y 2 + ∂ 2 w 1 ∂ z 2

Vamos analisar o lado esquerdo da equação. Como w 1 = 0 :

∂ w 1 ∂ t = 0 ;

u 1 ∂ w 1 ∂ x = 0 ;

v 1 ∂ w 1 ∂ y = 0 ;

w 1 ∂ w 1 ∂ z = 0

Então, o lado esquerdo se resume à:

ρ 1 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora para o lado direito da equação. A gravidade atua no sentido - z e a componente w 1 da velocidade é nula. Então:

g z = - g ;

∂ 2 w 1 ∂ x 2 = 0 ;

∂ 2 w 1 ∂ y 2 = 0 ;

∂ 2 w 1 ∂ z 2 = 0

Então, a equação de Navier-Stokes fica:

0 = - ∂ P 1 ∂ z - ρ 1 g + μ 1 0 + 0 + 0

∂ P 1 ∂ z = - ρ 1 g

Integrando em relação à ∂ z :

∫ ∂ P 1 ∂ z ∂ z = ∫ - ρ 1 g ∂ z

P 1 = - ρ 1 g z + C 5

Pelas condições de contorno sabemos que P 1 z = 0 = P 0 . Então:

P 0 = - ρ 1 g × 0 + C 5 → C 5 = P 0

Aplicando esta constante no perfil:

P 1 = P 0 - ρ 1 g z

Passo 9

Vamos agora determinar o perfil de pressão no segundo fluido. Para isso, também começamos aplicando a equação de Navier-Stokes para a componente z no fluido 2 :

ρ 2 ∂ w 2 ∂ t + u 2 ∂ w 2 ∂ x + v 2 ∂ w 2 ∂ y + w 2 ∂ w 2 ∂ z = - ∂ P 2 ∂ z + ρ 2 g z + μ 2 ∂ 2 w 2 ∂ x 2 + ∂ 2 w 2 ∂ y 2 + ∂ 2 w 2 ∂ z 2

Vamos analisar o lado esquerdo da equação. Como vimos no item (b), w 2 = 0 :

∂ w 2 ∂ t = 0 ;

u 2 ∂ w 2 ∂ x = 0 ;

v 2 ∂ w 2 ∂ y = 0 ;

w 2 ∂ w 2 ∂ z = 0

Então, o lado esquerdo é reduzido para:

ρ 2 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Vamos agora para o lado direito da equação. A gravidade atua no sentido - z e a componente w 2 da velocidade é nula. Então:

g z = - g ;

∂ 2 w 2 ∂ x 2 = 0 ;

∂ 2 w 2 ∂ y 2 = 0 ;

∂ 2 w 2 ∂ z 2 = 0

Então, a equação de Navier-Stokes fica:

0 = - ∂ P 2 ∂ z - ρ 2 g + μ 2 0 + 0 + 0

∂ P 2 ∂ z = - ρ 2 g

Integrando em relação à ∂ z :

∫ ∂ P 2 ∂ z ∂ z = ∫ - ρ 2 g ∂ z

P 2 = - ρ 2 g z + C 6

Pelas condições de contorno sabemos que P 1 z = h 1 = P 2 ( z = h 1 ) . Então:

P 0 - ρ 1 g h 1 = - ρ 2 g h 1 + C 6

C 6 = P 0 + ρ 2 - ρ 1 g h 1

Substituindo C 6 no perfil de P 2 :

P 2 = P 0 + ρ 2 - ρ 1 g h 1 - ρ 2 g z

Passo 10

Para encerrar, vamos para o item (d). Temos que o fluido 1 é água e o fluido 2 é óleo novo de motor, ambos a T = 80 ° C . Sabendo também que h 1 = 5,0   m m , h 2 = 8,0   m m e V = 10,0   m / s devemos desenhar o gráfico de u . Vamos lá?

Antes de ir para o gráfico, vamos encontrar as respectivas viscosidades (Tabelas A - 3 e A - 7 , apêndice A):

μ 1 = 0,355 × 10 - 3   k g / m s

μ 2 = 0,03232   k g / m s

A partir das nossas equações de perfil e, aplicando para diferentes valores de z :

u 1 = μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 z

u 2 = V + V - μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 h 1 h 2 × z - h 1 - h 2

Com o auxílio de Excel, devemos chegar em uma função da forma:

Pela análise do perfil de velocidades podemos ver que na camada de óleo a velocidade praticamente se mantém constante em u ≈ 10   m / s , enquanto na camada de água podemos ver que ocorre uma grande variação da velocidade, mesmo que h 1 < h 2 .

Isso acontece porque há uma grande diferença de viscosidade entre os fluidos, com μ 2 ≈ 100 × μ 1 . Por ser menos viscosa a água dissipa mais facilmente a energia de quantidade de movimento, enquanto o oposto acontece na camada de óleo de motor.

Resposta

(a) Condições de contorno:

P z = 0 = P 0

u z = 0 = 0

u z = h 1 + h 2 = V

u 1 z = h 1 = u 2 ( z = h 1 )

- μ 1 ∂ u 1 d z z = h 1 = - μ 2 ∂ u 2 d z z = h 1

P 1 z = h 1 = P 2 ( z = h 1 )

(b) Perfis de velocidade:

u 1 = μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 z

u 2 = V + V - μ 2 V h 2 μ 1 + μ 2 h 1 h 2 h 1 h 2 × z - h 1 - h 2

(c) Perfis de pressão:

P 1 = P 0 - ρ 1 g z

P 2 = P 0 + ρ 2 - ρ 1 g h 1 - ρ 2 g z

(d) Pelo perfil de velocidades vemos que na camada de óleo a velocidade praticamente se mantém constante, enquanto na camada de água podemos ver que ocorre uma grande variação da velocidade, mesmo que h 1 < h 2 .

Isso acontece devido à grande diferença de viscosidade entre os fluidos, o que permite que a água (menos viscosa) dissipe mais facilmente a energia de quantidade de movimento, enquanto o oposto acontece na camada de óleo de motor.

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