Enunciado

Considere o seguinte campo de velocidade permanente, tridimensional em coordenadas cartesianas: V → = u ,   v ,   w = a x z 2 - b y i → + c x y z j →   + d z 3 + e x z 2 k → onde a , b , c , d  e  e são constantes. Sob quais condições esse campo de escoamento é incompressível? Quais são as dimensões primárias das constantes  a , b , c , d  e  e ?

Passo 1

Fala Galera!!

Nessa questão nos foi dado o seguinte campo de velocidade:

V → = u ,   v ,   w = a x z 2 - b y i → + c x y z j →   + d z 3 + e x z 2 k →

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos supor que fluxo esteja estável. Assim, pela equação 9-61a para coordenadas cartesianas, temos que a equação da continuidade incompressível é:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Em que

u = a x z 2 - b y

v = c x y z  

w = d z 3 + e x z 2

Passo 3

Agora, podemos aplicar a equação da continuidade no campo de velocidade dado. Assim temos:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

∂ ∂ x a x z 2 - b y + ∂ ∂ y c x y z + ∂ ∂ z d z 3 + e x z 2 = 0

a z 2 + c x z + 3 d z 2 + 2 e x z = 0

a z 2 + 3 d z 2 = - c x z - 2 e x z

a + 3 d z 2 = - c + 2 e x z

Para que o seja incompressível, precisamos que

a + 3 d = 0                         e                         c + 2 e = 0  

Portanto, temos que quando a = - 3 d e c = - 2 e o fluxo será incompressível.

Passo 4

Para encontrar as unidades das constantes  a , b , c , d  e  e é importante saber que as dimensões de  u v  e  z  serão iguais a  L t . A partir da definição dita, temos que a componente de velocidade em u é a seguinte:

u = a x z 2 - b y

Logo, podemos dizer o seguinte:

L t = a × L × L 2 - b × L

L t = a × L 3 - b × L

Para somar os dois termos do lado direito da equação acima, eles precisam ter a mesma dimensão e para que a equação faça sentido, eles precisam ter a mesma dimensão do termo ao lado esquerdo. Ou seja, para a constante a :

L t = a × L 3

a = L t L 3

a = 1 t L 2

Para a constante b :

L t = b × L

b = L t L

b = 1 t

Portanto, a dimensão primária de  a  é 1 t L 2  e de  b  é  1 t .

Passo 5

Para o componente  v  do campo de velocidade, temos:

v = c x y z  

Logo, podemos dizer o seguinte:

L t = c × L × L × L

L t = c × L 3

Para que a equação faça sentido, o termo do lado direito precisa ter a mesma dimensão do termo ao lado esquerdo. Ou seja:

L t = c × L 3

c = L t L 3

c = 1 t L 2

Portanto, a dimensão primária de  c  é  1 t L 2 .

Passo 6

Para o componente  w  do campo de velocidade, temos:

w = d z 3 + e x z 2

Logo, podemos dizer o seguinte:

L t = d × L 3 + e × L × L 2

L t = d × L 3 + e × L 3

Para somar os dois termos do lado direito da equação acima, eles precisam ter a mesma dimensão e para que a equação faça sentido, eles precisam ter a mesma dimensão do termo ao lado esquerdo. Ou seja, para a constante d :

L t = d × L 3

d = L t L 3

d = 1 t L 2

Para a constante e :

L t = e × L 3

e = L t L 3

e = 1 t L 2

Portanto, a dimensão primária de  d  é 1 t L 2  e de  e  é  1 t L 2 .

Resposta

Para que o seja incompressível, precisamos que

a = - 3 d e c = - 2 e

Dimensões primárias das constantes  a , b , c , d  e  e .

a = 1 t L 2

b = 1 t

c = 1 t L 2

d = 1 t L 2

e = 1 t L 2

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