Enunciado

71 – Considere a geração de calor uniforme em um cilindro e uma esfera de raios iguais, produzidos com o mesmo material e no mesmo ambiente. Que geometria terá temperatura mais alta em seu centro? Por quê?

Passo 1

As condições dadas são

1. A geração uniforme de calor é a mesma para cilindro e esfera.

2. O raio igual é o mesmo para o cilindro e a esfera.

3. Mesmo material para cilindro e esfera.

Passo 2

Nós sabemos isso,

A distribuição de temperatura do cilindro é

T c = T p + q c 4 k ( R 2 - r 2 )

Onde,

T p é a temperatura da parede.

(Suponha que seja igual à temperatura ambiente)

q c    é a geração de calor.

T c  é a temperatura central

Como a temperatura máxima ocorre no centro, coloque r = 0 , obtendo:

T c , c i l i n d r o = T p + q c 4 k ( R 2 - r 2 )

= T p + q c 4 k ( R 2 - 0 )

= T p + q c 4 k R 2 … … … .   ( 1 )

Passo 3

A distribuição de temperatura para a esfera é:

T c , e s f e r a = T p + q c 6 k ( R 2 - r 2 )

= T p + q c 6 k ( R 2 - 0 )

= T p + q c 6 k R 2 … … … .   ( 2 )

Passo 4

Dividindo a equação 1 por 2, obtemos:

T c , c i l i n d r o T c ,   e s f e r a = T p + q c 4 k R 2 T p + q c 6 k R 2

Substituindo as condições:

T c , c i l i n d r o T c ,   e s f e r a = 6 4

T c , c i l i n d r o = 1,5 × T c ,   e s f e r a

Portanto, a expressão acima indica que a temperatura é mais alta no cilindro, porque o cilindro possui menor área de superfície, perdendo menos calor por unidade de volume do que a esfera.

Resposta

Portanto, a expressão acima indica que a temperatura é mais alta no cilindro, porque o cilindro possui menor área de superfície, perdendo menos calor por unidade de volume do que a esfera.

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