Enunciado

69 – Em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno r 1 = 40   c m , raio externo r 2 = 41   c m e condutividade térmica k = 1,5 W m ⋅ K é usado para armazenar água quente e mantê-la a 100   ℃ . Para isso, a superfície externa do contêiner é envolta por um aquecedor elétrico de 800   W e isolada. A temperatura da superfície interna do contêiner se mantém sempre próxima de 120   ℃ . Considerando que 10 % do calor gerado no aquecedor é perdido no isolamento, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do contêiner; (b) obtenha a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a temperatura da superfície externa do contêiner. Determine também a quantidade de água a 100   ℃ que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a 20   ℃ .

Passo 1

Uma vez que 10% do calor é perdido na superfície externa do recipiente. Encontre a quantidade máxima de fluxo de calor no aquecedor usando a equação.

q ˙ s = 0,9 × Q A 2

= 0,9 × Q 4 π r 2 2

q ˙ s = 0,9 × 800 4 π × 0,41 2

340,843   W / m 2

Passo 2

a)

Escreva a equação geral de condução de calor no caso de coordenadas esféricas para transferência de calor unidimensional na direção radial, estado estacionário e sem geração interna de calor.

d d r r 2 d T d r = 0

Precisamos de duas condições de contorno para resolver a equação diferencial acima. Dado que, no raio interno  r 1 , a temperatura da superfície interna do recipiente é   120   ℃ . Assim,

r = r 1

T = T 1 = 120 ℃

Matematicamente, a primeira condição de contorno é   T ( r 1 ) = T 1 = 120 ℃

A outra condição de contorno está no raio externo, onde a quantidade máxima de fluxo de calor é  q ˙ s .

Expresse a condição de contorno matematicamente, assumindo que:

r = r 2 e - k d T r 2 d r = q ˙ s

Aqui,  k  é a condutividade térmica do tanque esférico.

Portanto, a segunda condição de contorno é

k d T r 2 d r = q ˙ s

Passo 3

b) Escreva a equação geral de condução de calor na direção radial, estado estacionário sem geração interna de calor.

d d r r 2 d T d r = 0

Integre a equação diferencial acima,

∫ d d r r 2 d T d r = 0

r 2 d T d r = C 1

d T d r = C 1 r 2 … … . .   ( 1 )

Aqui C 1 é a constante de integração.

Novamente, integre a equação acima,

∫ d T = ∫ C 1 r 2 d r

T = - C 1 r + C 2 … … .   ( 2 )

Aqui, C 2 é a constante de integração.

Aplique a segunda condição de contorno para encontrar o valor constante  C 1 da equação (1). Assumindo que:

k d T r 2 d r = q ˙ s

r = r 2

d T d r = C 1 r 2

q ˙ s k = C 1 r 2 2

C 1 = q ˙ s ⋅ r 2 2 k

Passo 4

Aplique a primeira condição de contorno para encontrar o valor constante  C 1 da equação (2). Logo, temos que r = r 1 e T = T 1 = 120   ℃

T = - C 1 r + C 2

T 1 = - q ˙ s ⋅ r 2 2 k r 1 + C 2  

C 2 = T 1 + q ˙ s ⋅ r 2 2 k r 1

Agora substitua esse valor de C 2 e o valor de C 1 na equação (2).

T = - C 1 r + C 2

= q ˙ s ⋅ r 2 2 k r + T 1 + q ˙ s ⋅ r 2 2 k r 1

= T 1 + q ˙ s ⋅ r 2 2 k 1 r 1 - 1 r

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

T = 120 + 340,843 × 0,41 2 1,5 1 0,4 - 1 r

T = 120 + 38,19 1 04 - 1 r

Portanto, a distribuição de temperatura no recipiente é 

T = 120 + 38,19 1 0 , 4 - 1 r

Passo 5

c) Agora avalie a temperatura da superfície externa substituindo  r = r 2 na distribuição de temperatura.

T = 120 + 38,19 1 0 , 4 - 1 r

Substitua  r = r 2  e  T 2 = T .

T 2 = 120 + 38,19 1 0 , 4 - 1 r 2

Substitua  r 2 = 0,42   m .

T 2 = 120 + 38,19 1 0 , 4 - 1 0,41

T 2 = 122,329   ℃

Portanto, a temperatura da superfície externa do recipiente é  122,329   ℃

Passo 6

Calcule a quantidade máxima de calor fornecida ao aquecedor,

Q s = 0,9 × Q

= 0,9 × 800

= 720   W

Portanto, 720   W de calor são entregues à água fria para aquecer a temperatura de 20   ℃   a   100   ℃ .

Temos que a temperatura média é dada por:

T m = 100 + 20 2

T m = 60   ℃

Obtenha o calor específico da água em temperatura média  60   ℃ .

c p = 4,185 k J K g ⋅ K  

Passo 7

Agora encontre a vazão mássica da água usando a equação,

Q s = m ˙ c p ∆ T

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

720 = m ˙ × 4,185 × 10 3 × ( 100 - 20 )

m ˙ = 0,00215   K g / s

m ˙ = 7,74   K g / h

Portanto, a quantidade de água quente a  100   ℃   fornecida é fornecida pelo tanque, tem a vazão de 7,74   K g / h .

Resposta

  1. d d r r 2 d T d r = 0

    E as condições de contorno são:

      T ( r 1 ) = T 1 = 120 ℃

    k d T r 2 d r = q ˙ s

  2. T = 120 + 38,19 1 04 - 1 r
  3. T 2 = 122,329   ℃

m ˙ = 7,74   K g / h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A temperatura de ebulição do nitrogênio ao nível do mar (pressão atmosférica de 1 atm) é -196 °C. Logo, o nitrogênio é usado em estudos científicos a baixas temperaturas, já que a temperatura do nitro
Considere uma extensa parede plana de espessura L = 0 , 4m e condutividade térmica k = 8,4W / m ⋅ K . Não há acesso ao lado interno da parede em x = 0 , por isso as condições térmicas nessa superfície
Considere um cilindro curto de raio r 0 e altura H , no qual há geração de calor a uma taxa constante de e ˙ g e r . Calor é perdido da superfície cilíndrica em r = r 0 por convecção para o meio ao re
Considere uma tubulação de vapor de comprimento L, raio interno r 1 , raio externo r 2 e condutividade térmica k . Vapor flui dentro do tubo a uma temperatura média T i , com coeficiente de transferên
O telhado de uma casa é feito de laje de concreto de 25 cm de espessura, 8 m de largura e 10 m de comprimento ( k = 1,9W / m ⋅ ° C ) . A emissividade da superfície externa do telhado é 0,8, e o coefic