Enunciado

Considere um granizo de 0,8 cm de diâmetro caindo livremente no ar a 1 atm e 5 °C. Determine a velocidade terminal do granizo. Considere a densidade do granizo como 910 kg/m³.

Passo 1

Antes de começar esse exercício, nós vamos lá na tabela A.9 do apêndice A para pegar as propriedades de interesse do ar nas condições de 1 atm e 5 °C, de onde teremos:

ρ a = 1,269   k g / m 3

ν = 1,382.10 - 5   m 2 / s

Beleza! Nós sabemos então que a velocidade terminal de um objeto em queda livre ocorre quando a força de arrasto se iguala ao peso do objeto em queda menos a força de empuxo exercida pelo meio em que está, ou seja, resumindo isso, temos:

F D = W - F E

No nosso caso, poderemos desprezar a força de empuxo F E exercida pelo ar, já que a densidade do ar é muito menor do que a densidade do granizo. Dessa forma, a equação acima se torna:

F D = W

Sabendo que a força de arrasto é dada por:

F D = C D A ρ a V 2 2

E, que a área nesse caso é dada pela área transversal da esfera, temos:

A = π D 2 4

Substituindo essa expressão na equação para a força de arrasto, teremos:

F D = C D π D 2 ρ a V 2 8

Agora, sabendo que o peso da esfera de granizo pode ser dado pelo volume vezes a sua densidade vezes a aceleração da gravidade, teremos:

W = ρ g V g = ρ π D 3 6 g → W = ρ g π g D 3 6

Passo 2

Agora então, nós vamos substituir as expressões encontradas para a força de arrasto e para o peso da esfera de granito lá na equação do passo 1, então teremos:

F D = W → C D π D 2 ρ a V 2 8 = ρ g π g D 3 6

Isolando a velocidade dessa expressão, chegamos em:

C D ρ a V 2 4 = ρ g g D 3 → V 2 = 4 ρ g g D 3 C D ρ a

V = 4 ρ g g D 3 C D ρ a

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

V = 4 910 9,81 0,008 3 C D 1,269 → V = 8,66 C D

Agora, como precisamos determinar o coeficiente de arrasto, o que, por sua vez, depende do número de Reynolds. Então, sabendo que Reynolds é dado por:

R e = V D ν

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, teremos:

R e = V 0,008 1,382.10 - 5 → R e = 578,9 V

Precisamos da velocidade para encontrar o número de Reynolds para poder encontrar o coeficiente de arrasto e, por sua vez, determinar a velocidade real. Então, estamos em um problema clássico de iteração. Nesse caso, precisamos chutar um valor de V , vamos começar com:

V = 10   m / s

Passo 3

Para esse valor de velocidade, nosso Reynolds será:

R e = 578,9 10 → R e = 5789 = 5,789.10 3

Então, agora precisamos ir lá na figura 11-34 que vimos nesse capítulo para encontrar o coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds que encontramos. Então com o auxílio da figura 11-34 a seguir:

Para o nosso número de Reynolds então, conforme destacado no gráfico acima, teremos:

C D = 0,4

Com isso, substituindo esse valor na equação para a velocidade encontrada no passo 2, temos:

V = 8,66 C D = 8,66 0,4 → V = 13,69   m / s

Vamos realizar mais uma iteração com essa velocidade, então, para esse valor, teremos um Reynolds de:

R e = 578,9 13,69 → R e = 7925 = 7,925.10 3

Da figura 11-34, podemos ver que teremos o mesmo coeficiente de arrasto C D = 0,4 , o que resultará na mesma velocidade terminal encontrada na primeira iteração de:

V = 13,69   m / s

Então, essa de fato é a velocidade terminal do granizo em meio ao ar a 1 atm e 5 °C.

Resposta

V = 13,69   m / s

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