Enunciado

Um fluido incompressível e invíscido escoa para dentro de um tubo circular, horizontal, através de sua parede porosa. O tubo é fechado na extremidade esquerda e o escoamento descarrega para a atmosfera pela extremidade direita. Para simplificar, considere a componente x da velocidade uniforme através de qualquer seção transversal no interior do tubo. A massa específica do fluido é ρ, o diâmetro e o comprimento do tubo são D e L, respectivamente, e a velocidade uniforme de entrada do fluido é υ 0 . O escoamento é em regime permanente. Obtenha uma expressão algébrica para a componente x da aceleração de uma partícula fluida localizada na posição x, em termos de υ 0 , x e D. Encontre uma expressão para o gradiente de pressão, ∂p/∂x, na posição x. Integre para obter uma expressão para a pressão manométrica em x = 0.

Passo 1

Pessoal, este é um problema de escoamento unidirecional que pede a aceleração e gradiente de pressão. Para começar, vamos aplicar a equação da aceleração 5.11a:

a x = D u D t = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Assumindo que:

  1. regime permanente
  2. fluido incompressível
  3. fluxo uniforme pela seção
  4. g x = 0
  5. Velocidades de escoamento em y e em z são nulas.

A equação simplifica para:

a x = u ∂ u ∂ x

Passo 2

Agora vamos aplicar a conservação de massa para um volume de controle no contorno de r:

0 = d d t ∫ ρ d V C V + ∫ ρ v → d A → S C

Com as considerações do passo anterior, a equação simplifica para:

0 = ∫ v → d A → S C = ∑ Q s a i - Q d e n t r o

Agora devemos ver pelo desenho o que isto significa.

O que está saindo do tubo equivale a:

Q s a i = u   A t = u π D 2 4

Já o que está dentro do tubo, vale (ver demonstração no exercício 4.123):

Q d e n t r o = v 0 A s c = v 0 π D x

Então ficamos com a equação:

0 = u π D 2 4 - v 0 π D x

u x = 4 v 0 x D

Agora basta substituir na equação da aceleração:

a x = u ∂ u ∂ x

a x = 4 v 0 x D   ∂ 4 v 0 x D ∂ x

a x = 4 v 0 x D   4 v 0 D

a x = 16 v 0 2 x D 2  

Passo 3

Para encontrar o gradiente de pressão vamos usar a equação de Euler 6.2a do livro:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t = ρ g x - ∂ p ∂ x

Pela equação da aceleração do Passo 1, podemos simplificar a expressão acima:

ρ a x = ρ g x - ∂ p ∂ x

ρ a x = - ∂ p ∂ x

Substituindo o valor de a x :

∂ p ∂ x = - 16 ρ v 0 2 x D 2  

Como o fluxo é apenas em x, podemos usar a relação:

d p = ∂ p ∂ x d x

Substituindo e integrando:

∫ p 0 p d p = ∫ 0 L - 16 ρ v 0 2 x D 2 d x

p - p 0 = - 16 ρ v 0 2 x 2 2 D 2   L 0

p - p 0 = - 8 ρ v 0 2 L 2 D 2

Como p = p a t m = 0 :

p 0 = 8 ρ v 0 2 L 2 D 2

Resposta

a x = 16 v 0 2 x D 2  

∂ p ∂ x = - 16 ρ v 0 2 x D 2

p 0 = 8 ρ v 0 2 L 2 D 2

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