Enunciado

Óleo, de massa específica ρ e viscosidade μ , é drenado continuamente por um lado de uma placa vertical, como na Figura P4.80. Após uma região de desenvolvimento próximo ao topo da placa, o filme de óleo se tornará independente de z e com espessura constante δ. Suponha que w = w(x) apenas e que a atmosfera não oferece resistência ao cisalhamento para a superfície do filme. (a) Resolva a equação de Navier-Stokes para w(x) e faça um esboço de sua forma aproximada. (b) Considere que a espessura δ do filme e a inclinação do perfil de velocidade na parede ∂ w ∂ x p a r e d e são medidos com um anemômetro doppler a laser (Capítulo 6). Encontre uma expressão para a viscosidade μ do óleo em função de ( ρ ,   δ ,   g ,   ∂ w ∂ x p a r e d e ) .

Passo 1

Bora pra mais uma!

Primeiramente, não há um gradiente de pressão ∂ p ∂ z devido a pressão constante da atmosfera. O componente z da equação de Navier-Stokes é μ d 2 w d x 2 = ρ g , e a solução da equação requer w=0 em x=0 e d w d x = 0 , ou seja, sem cisalhamento na borda do filme. Em x = δ , a solução se dá por:

w = ρ g x 2 μ ( x - 2 δ )

É importante frisar que o sentido de w é apontado “para baixo”.

A inclinação do perfil de velocidade na parede é então obtida derivando a equação acima:

d w d x p a r e d e = - ρ g δ μ    

E obtemos a expressão para a viscosidade μ do óleo em função de ( ρ ,   δ ,   g ,   ∂ w ∂ x p a r e d e ) simplesmente rearranjando a equação:

μ = - ρ g δ d w d x p a r e d e

Resposta

  1. w = ρ g x 2 μ ( x - 2 δ )

  2. μ = - ρ g δ d w d x p a r e d e
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