Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Líquido, em um jato fino de largura w e espessura h , escoa de uma ranhura e atinge uma placa plana estacionária. Experiências mostram que a força resultante do jato de líquido sobre a placa não atua através do ponto O , em que a linha de centro do jato intercepta a placa. Determine o módulo e a linha de ação da força resultante como funções de θ . Avalie o ângulo de equilíbrio da placa, se a força resultante fosse aplicada no ponto O . Despreze qualquer efeito viscoso.

Passo 1

Equações:

0 = ∂ ∂ t ∫ V C ρ d ∀ + ∫ S C ρ V d A

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ d ∀ + ∫ S C V   ρ V d A

r × F s + ∫ V C r × g ρ d ∀ + T e i x o - ∫ V C r × 2 ω × V + ω × ω × r + ω × r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C r × V ρ d ∀ + ∫ S C r × V   ρ V d A

Considerações Iniciais:

  1. Fluxo Constante;
  2. Escoamento Estacionário;
  3. Cancelamento do torque no corpo;
  4. Sem Efeitos de Viscosidade ( V 1 = V 2 = V 3 = V ) .
  5. T e i x o = 0 .

Realizando as considerações, temos respectivamente:

0 = ∫ S C ρ V d A

∫ S C u   ρ V d A = 0

F S y = ∫ S C v   ρ V d A

r × F S = ∫ S C r × V   ρ V d A

Passo 2

Da equação da continuidade, temos:

0 = - ρ V ω h + ρ V ω h 2 + ρ V ω h 3

Simplificando:

h = h 2 + h 3

Da equação de momento:

0 = u 1 - ρ V ω h + u 2 ρ V ω h 2 + u 3 ρ V ω h 3

Sendo:

u 1 = V   s e n   θ ;

u 2 = - V ;

u 3 = V .

Temos:

0 = ρ V 2 ω - h   s e n   θ - h 2 + h 3

h 3 - h 2 = h   s e n   θ

Passo 3

Combinando as duas equações obtidas no Passo 2, temos:

h 2 = h 1 - s e n   θ 2 e h 3 = h 1 + s e n   θ 2

Do momento y , temos:

F S y = ∫ S C v   ρ V d A

R y = v 1 - ρ V ω h + v 2 ρ V ω h 2 + v 3 ρ V ω h 3

Sendo:

v 1 = - V cos ⁡ θ ;

v 2 = 0 ;

v 3 = 0 .

Temos:

R y = ρ V 2 ω h cos ⁡ θ

Passo 4

Aplique a equação de momento do momento da seguinte forma:

r × F S = ∫ S C r × V   ρ V d A

r ' × F s = r 1 × V 1 - ρ V ω h + r 2 × V 2 ρ V ω h + r 3 × V 3 ( ρ V ω h )

Sendo:

r ' = x ' î ;

r 1 × V 1 = 0 ;

r 2 = h 2 2 j ^ ;

r 3 = h 3 2 j ^ ;

F S = R y j ^ ;

V 2 = - V   î /

V 3 = V   î ;

r ' × F S = x ' R y k ^ ;

r 2 × V 2 = h 2 V 2 k ^ ;

Substituindo na equação do momento do momento, temos:

x ' R y = ρ V 2 w h 2 2 2 - ρ V 2 w h 3 2 2 = ρ V 2 w 2 ( h 2 2 - h 3 2 )

Isolando x ' :

x ' = ρ V 2 w 2 R y ( h 2 2 - h 3 2 )

x ' = ρ V 2 w 2 R y ( h 2 - h 3 ) ( h 2 + h 3 )

Passo 5

Utilizando as relações obtidas no Passo 3, e substituindo R y :

x ' = ρ V 2 w 2 ρ V 2 ω h cos ⁡ θ h 2 1 - s e n   θ 2 - 1 + s e n   θ 2 1 - s e n   θ 2 + 1 + s e n   θ 2

x ' = h - s e n   θ 2 cos ⁡ θ = - h tan ⁡ θ 2

Passo 6

Observe que x ' < θ , isso significa que R y deve ser aplicado abaixo do ponto 0.

Se R y é aplicado no ponto 0, x ' = 0 , para o equilíbrio, a partir da equação obtida, θ = 0 . Assim, se a força for aplicada no ponto 0, a placa estará em equilíbrio quando perpendicular ao jato.

Resposta

R y = ρ V 2 ω h cos ⁡ θ

x ' = - h tan ⁡ θ 2

Exercícios de Livros Relacionados

O bocal da esquerda tem uma área de 30 cm² e lança um jato com velocid
Se o carrinho do Problema 4.138 inicia o movimento em t = 0 , em que i
A água escoa através de um tubo com 12 cm de diâmetro que consiste em
Quando uma mangueira de jardim é usada para encher um balde, a água no
Petróleo bruto S G = 0,95 , proveniente de um petroleiro ancorado, esc