Enunciado

Considere um objeto com comprimento característico de 0,01 m e uma situação na qual a diferença de temperaturas é de 30 °C. Estimando as propriedades termofísicas nas condições especificadas, determino o número de Rayleigh para os seguintes fluidos: ar (1 atm, 400 K), hélio (1 atm, 400 K), glicerina (285 K) e água (310 K).

Passo 1

A questão nos pede para calcularmos o número de Rayleigh para diferentes fluidos (sob condições físicas distintas). A única coisa que sabemos é que o comprimento característico é L = 0,01   m e a diferença de temperatura Δ T = 30   ° C .

Bom, se queremos calcular o número de Rayleigh, nosso primeiro questionamento é: como se calcula o número de Rayleigh?

Então, o número de Rayleigh é o produto dos números de Grashof e de Prandtl. Em termos matemáticos, é expresso pela seguinte relação:

R a = g β Δ T L 3 ν α

Então, nosso trabalho é buscar cada um dos valores das constantes acima para cada caso estudado.

Passo 2

Agora, vamos começar o cálculo para cada condição analisada. Começaremos então pelo ar (1atm, 400 K). Lá da Tabela A.4 temos os seguintes valores: α = 38,3 ⋅ 10 - 6   m 2 / s , ν = 26,41 ⋅ 10 - 6   m 2 / s .

Mas e o β ? Como o ar é um gás ideal, ele será dado por:

β = 1 T = 1 400

Sempre tomem cuidado para utilizar a temperatura em Kelvin (temperatura absoluta)! Somente quando estamos falando em diferença de temperatura Δ T é que podemos trabalhar com Celsius.

Continuando então, temos o seguinte número de Rayleigh:

R a a r = 9,81 ⋅ 30 ⋅ 0,01 3 400 ⋅ 26,41 ⋅ 10 - 6 ⋅ 38,3 ⋅ 10 - 6 = 727,4

Realizando o mesmo procedimento para o gás hélio (gás ideal), da Tabela A.4, temos os seguintes valores:   α = 295 ⋅ 10 - 6   m 2 / s , ν = 199 ⋅ 10 - 6   m 2 / s . Então, seu número de Rayleigh é dado por:

R a h é l i o = 9,81 ⋅ 30 ⋅ 0,01 3 400 ⋅ 199 ⋅ 10 - 6 ⋅ 295 ⋅ 10 - 6 = 12,5

Passo 3

Para o caso da glicerina, vamos precisar obter as suas propriedades de uma tabela diferente. Ela é a Tabela A.5. E não só isto, precisamos fazer uma interpolação também.

Isto ocorre, pois, a tabela apresenta apenas os casos 280 K e 290 K. Então, vamos descobrir qual o valor médio neste intervalo.

Se fizermos isto, vamos conseguir as seguintes propriedades: α = 0,964 ⋅ 10 - 7   m 2 / s , ν = 2830 ⋅ 10 - 6   m 2 / s , β = 0,475 ⋅ 10 - 3   K - 1 .

Então, o número de Rayleigh será:

R a g l i c e r i n a = 9,81 ⋅ 0,475 ⋅ 10 - 3 ⋅ 30 ⋅ 0,01 3 2830 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0,964 ⋅ 10 - 7 = 512

Passo 4

Por fim, temos o caso da água, cujas propriedades são obtidas da Tabela A.6. Vamos aproximar as propriedades da água pelas propriedades de líquido saturado.

Para a temperatura de 310 K, as suas propriedades são: α = k e ν e / c p , e = 0 , 151 ⋅ 10 - 6   m 2 / s , ν = 0,7 ⋅ 10 - 6   m 2 / s , β = 361,9 ⋅ 10 - 6   K - 1 .

Então, o número de Rayleigh será:

R a á g u a = 9,81 ⋅ 361,9 ⋅ 10 - 6 ⋅ 30 ⋅ 0,01 3 0,7 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0,151 ⋅ 10 - 6 = 1,01 ⋅ 10 6

Resposta

R a a r = 727,4

R a h é l i o = 12,5

R a g l i c e r i n a = 512

R a á g u a = 1,01 ⋅ 10 6

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