Enunciado

Seja uma grande placa vertical com uma temperatura superficial uniforme de 130 °C suspensa em ar quiescente a 25 °C e a pressão atmosférica.

  1. Estime a espessura da camada-limite em uma posição a 0,25 m da aresta inferior da placa.
  2. Qual é a velocidade máxima na camada-limite nesse local e em qual posição na camada-limite esse máximo ocorre?
  3. Usando o resultado da solução por similaridade, Equação 9.19, determine o coeficiente de transferência de calor a 0,25 m da aresta inferior.
  4. Em qual local na placa, medido a partir de sua aresta inferior, a camada-limite irá se tornar turbulenta?

Passo 1

Vamos lá! Três tópicos distintos para nós trabalharmos. Então, vamos começar pela letra a).

Precisamos estimar a espessura da camada-limite em uma determinada posição. Para conseguirmos estimar, vamos ter que utilizar uma relação que utiliza o parâmetro de similaridade η . Esta relação é:

y = η x G r x 4 1 / 4

O ponto x é o valor de 0,25 m que é dito no enunciado da questão. Para calcularmos o número de Grashof, vamos precisar das propriedades do filme. Sabendo que o filme tem temperatura T f = 25 + 130 2 = 77,5 ° C .

Para este valor de temperatura de filme, da tabela A.4, temos as seguintes propriedades: ν = 20,92 ⋅ 10 - 6   m 2 / s , k = 0,030   W / m ⋅ K , P r = 0,7 .

Bom, o nosso cálculo está basicamente encaminhado. Temos todas as informações necessárias, com exceção de uma única: quem é η ? Para encontrarmos, precisamos olhar o gráfico da Figura 9.4. Lá, observamos o valor de η , para P r ≈ 0,72 , que faz f ' η ser igual a 0.

Este valor é η ≈ 5 . Então, a estimativa da espessura da camada limite é:

y = η x G r x 4 1 / 4

y = η x g β Δ T x 3 ν 2 4 1 / 4 = 5 ⋅ 0,25 ⋅ 9,81 ⋅ 1 273 + 77,5 ⋅ 130 - 25 ⋅ 0,25 3 20,92 ⋅ 10 - 6 2 ⋅ 4 1 / 4

y = 0,0175   m = 17,5   m m

E esse é o valor da letra a).

Passo 2

Agora, precisamos determinar a velocidade máxima na camada limite neste local e em qual posição ela ocorre.

Para resolvermos esta pergunta, precisamos voltar a mesma Figura 9.4. Para a mesma curva P r ≈ 0,72 , vamos temos que obter o valor de η que retorna o valor máximo de f ' η , e qual é este valor. Então, aproximadamente, temos os valores de η = 1 e f ' η = 0,275 .

Agora fica tudo fácil. É só usarmos as relações corretas para cada ponto. Começaremos pela velocidade máxima. Ela será dada por:

u = 2 ν x G r x 1 / 2 = 2 ν x g β Δ T x 3 ν 2 1 / 2

u = 2 ⋅ 20,92 ⋅ 10 - 6 0,25 9,81 ⋅ 1 273 + 77,5 ⋅ 130 - 25 ⋅ 0,25 3 20,92 ⋅ 10 - 6 2 1 / 2 = 0,47   m / s

Já a espessura da camada é obtida pela mesma relação que utilizamos no Passo 1. Então,

y = η x g β Δ T x 3 ν 2 4 1 / 4 = 1 ⋅ 0,25 ⋅ 9,81 ⋅ 1 273 + 77,5 ⋅ 130 - 25 ⋅ 0,25 3 20,92 ⋅ 10 - 6 2 ⋅ 4 1 / 4

y = 0,0035   m = 3,5   m m

Passo 3

Para resolvermos a letra c), precisamos determinar o coeficiente de transferência de calor local em x = 0,25   m . O bom até é que ela já nos diz qual a relação devemos utilizar, sendo ela:

N u x = h x x k = G r x 4 1 / 4 g P r

Sendo,

g P r = 0 , 75   P r 1 / 2 0,609 + 1,221 P r 1 / 2 + 1,238 P r 1 / 4

Então, o trabalho desta letra é braçal. Muita conta para fazer. Sempre temos que tomar cuidado para não errar nenhuma conta! Sendo assim, vamos começar calculando g P r = g 0,7 :

g 0,7 = 0,75 ⋅ 0,7 1 / 2 0,609 + 1,221 ⋅ 0,7 1 / 2 + 1,238 ⋅ 0,7 1 / 4 = 0,5

Agora que obtivemos g 0,7 , vamos calcular h 0,25 . Ele será:

h x = k x ⋅ G r x 4 1 / 4 g P r

h 0,25 = 0,03 0,25 ⋅ 9,81 ⋅ 1 273 + 77,5 ⋅ 130 - 25 ⋅ 0,25 3 20,92 ⋅ 10 - 6 2 ⋅ 4 1 4 ⋅ 0,5

h 0,25 = 4,3   W / m 2 ⋅ K

Acabamos assim a letra c).

Passo 4

Estamos quase finalizando a questão! Só precisamos descobrir agora a posição em que a camada limite se torna turbulenta!

Se uma camada limite é turbulenta, o número de Rayleigh é igual a 10 9 . Então, nosso trabalho será descobrir qual o valor de x tal que R a = 10 9 .

Portanto, temos:

R a = G r ⋅ P r = 10 9

g β Δ T x 3 ν 2 ⋅ P r = 10 9

x = ν 2 ⋅ 10 9 g β Δ T P r 1 / 3

Substituindo os valores temos:

x = 20,92 ⋅ 10 - 6 2 ⋅ 10 9 9,81 ⋅ 1 350,5 ⋅ 105 ⋅ 0,7 1 / 3 = 0,6   m

E agora sim, podemos dizer que acabamos a questão!

Resposta

  1. y = 17,5   m m

  2. u = 0,47   m / s

    y = 3,5   m m

  3. h 0,25 = 4,3   W / m 2 ⋅ K

x = 0,6   m

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