Enunciado

Considere um recipiente semicilíndrico de raio R e comprimento L. Desenvolva expressões gerais para o módulo e a linha de ação da força hidrostática em uma extremidade, se o recipiente estiver parcialmente cheio com água e aberto para a atmosfera. Plote os resultados (na forma adimensional) para a faixa de profundidade da água de 0 ≤ d/R ≤ 1.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, vamos integrar a equação da pressão. Todavia, temos que esboçar o DCL , que é da seguinte forma:

p = ρ g h h = y - ( R - d )

Então:

p = ρ g y - R - d = p g R y R - 1 - d R

Expressando em termos de θ , temos:

p = ρ g R ( cos ⁡ θ - cos ⁡ α )

d A = w   d y = 2 R sin ⁡ θ d y

y = - R sin ⁡ θ   d θ

Substituindo na equação da força hidrostática:

F R = ∫ R - d R p w   d y = ∫ α 0 ρ g R cos ⁡ θ - cos ⁡ α 2 R sin ⁡ θ ( - R sin ⁡ θ )   d θ F R ρ g R 3 = 2 sin 3 ⁡ α 3 - cos ⁡ α α 2 - sin ⁡ α cos ⁡ α 2

Passo 2

Agora, para encontrarmos a linha de ação da força, temos:

y ' F R = ∫ R - d R y p w   d y = ∫ α 0 R cos ⁡ θ ρ g R cos ⁡ θ - R sin ⁡ θ   d θ y ' R = 1 8 α - sin ⁡ 4 α 4 - cos ⁡ α sin 3 ⁡ α 3   sin 3 ⁡ α 3 - cos ⁡ α α 2 - sin ⁡ α cos ⁡ α 2

Com isso, nossos gráficos ficam assim:

Resposta

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