Enunciado

Considere uma série de pás curvas atingidas por um jato contínuo de água com velocidade constante, V = 86,6   m / s . O jato sai de um bocal de 50   m m de diâmetro e as pás se movem com velocidade constante, U = 50   m / s . Note que toda a vazão em massa do jato atravessa as pás. A curvatura das pás é descrita pelos ângulos θ 1 = 30 ° e θ 2 = 45 ° , conforme mostrado. Avalie o ângulo do bocal, α , requerido para assegurar que o jato penetre tangentemente à borda de ataque de cada pá. Calcule a força que deve ser aplicada para manter a velocidade das pás constante.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento Uniforme.

Passo 2

Para analisar o ângulo do bocal, α , requerido para assegurar que o jato penetre tangentemente à borda de ataque de cada pá, desenharemos um sistema com vetores e ângulos:

Sendo:

V = V e l o c i d a d e   d o   j a t o   d e   á g u a ;

U = V e l o c i d a d e   d a s   p a l h e t a s ;

V r b = V e l o c i d a d e   R e s u l t a n t e .

Pelas relações trigonométricas, temos que:

s e n   α V r b = s e n   ( 90 ° + θ 1 ) V = s e n   β U

Assim:

s e n   β = U V s e n   ( 90 ° + θ 1 )

β = s e n - 1 U V s e n   90 ° + θ 1

Tendo

V = 86,6   m / s ;

U = 50   m / s ;

θ 1 = 30 ° .

Conseguimos obter β :

β = s e n - 1 U V s e n   90 ° + θ 1

β = s e n - 1 50 86,6 s e n   90 ° + 30 ° = 30 °

De acordo com o desenho:

α + β + θ 1 = 90 °

Então:

α + 30 ° + 30 ° = 90 °

α = 30 °

Passo 3

Com o ângulo α obtido, conseguimos obter o valor de V r b :

s e n   α V r b = s e n   ( 90 ° + θ 1 ) V

V ⋅ s e n   α = V r b ⋅ s e n   ( 90 ° + θ 1 )

V r b = V ⋅ s e n   α s e n   90 ° + θ 1

V r b = 86,6 ⋅ s e n   30 ° s e n   120 ° = 50   m / s

Passo 4

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então F B x = 0 :

F S x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo que:

F S x = R x

Então:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 5

Desse modo, a força resultante se dá:

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

R x = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

Onde:

u 1 = V r b ⋅ s e n   θ 1 ;

u 2 = - V r b ⋅ s e n   θ 2 .

Então:

R x = V r b ⋅ s e n   θ 1 ⋅ - ρ V A + - V r b ⋅ s e n   θ 2 ⋅ ρ V A

R x = ρ V A ⋅ V r b ⋅ ( - s e n   θ 1 - s e n   θ 2 )

Passo 6

Sendo:

V = 86,6   m / s ;

V r b = 50   m / s ;

θ 1 = 30 ° .

θ 2 = 45 ° ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

A = π D 2 4 = π ⋅ 0,05 2 4 = 1,963 x 10 - 3   m 2 .

Temos:

R x = 1000 ⋅ 86,6 ⋅ 1,963 x 10 - 3 ⋅ 50 ⋅ ( - s e n   30 ° - s e n   45 ° )

R x = - 10260   N

Resposta

α = 30 °

R x = - 10260   N

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