Enunciado

A hélice do “avião” a propulsão humana Gossamer Condor tem diâmetro D = 3,6   m e gira a N = 107   r p m . Detalhes adicionais do avião são dados no Problema 9.174. Estime as características adimensionais de desempenho e eficiência desta hélice nas condições de cruzeiro. Considere que o piloto gaste 70% da potência máxima no regime de cruzeiro. (Veja a Referência [56] para mais informações sobre voo a propulsão humana.)

Passo 1

Tá legal, vamos começar esse exercício relembrando o valor da velocidade para a potência mínima requerida para fazer esse avião voar, que foi encontrada no Problema 9.174, dada por:

V m i n = V C L C L m i n

E, nesse caso, sabemos que C L é dado por:

C L = F L 1 2 ρ V 2 A

No entanto, F L é dado por:

F L = W

Em que W é o peso do Condor. Então, substituindo essa expressão na equação acima, temos:

C L = W ρ V 2 A 2 → C L = 2 W A ρ V 2

E, o enunciado nos forneceu o valor da carga de asa por área da asa, então, substituindo os valores conhecidos, temos:

C L = 2 19 1,23 19,2 3,6 2 → C L = 1,09

Passo 2

Sabemos que o coeficiente de arrasto C D é dado pela equação:

C D = F D 1 2 ρ V 2 A

Para calcular o valor de A , podemos usar a relação W / A fornecida no enunciado, então, temos:

A = W W / A = 890 19 → A = 46,8   m 2

Então, substituindo os valores conhecidos para o coeficiente de arrasto, temos:

C D = 27 1 2 1,23 19,2 3,6 2 46,8 → C D = 0,033

E, como vimos no Problema 9.174 que:

C D , 0 = C D - C D i = C D - C L 2 π a r

Substituindo os valores conhecidos, temos:

C D , 0 = 0,033 - 1,08 2 π 17 → C D , 0 = 0,0112

E, por fim, conforme vimos também, temos que, para potência mínima:

C D i = C L 2 π a r = 3 C D , 0 → C D , i = 0,0336

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

C L m i n 2 π 17 = 0,0336 → C L m i n = 1,34

Então a velocidade mínima será:

V m i n = V C L C L m i n = 19,2 3,6 1,09 1,34 → V m i n = 4,81   m / s

Passo 3

Então, calculando C D para a condição de velocidade mínima, temos:

C D = C D , 0 + C D , i = 0,0112 + 0,0336 → C D = 0,0448

Então, F D será:

F D m i n = F L m i n C D m i n C L m i n = 890 0,0448 1,34 → F D m i n = 29,8   N

Agora podemos calcular as características adimensionais do avião, então, temos:

J = V n D = 4,81 107 60 3,6 → J = 0,749

C F = F D ρ n 2 D 4 = 29,8 1,23 107 60   2 3,6 4 → C F = 0,0453

Passo 4

Considerando a eficiência de 90% na velocidade de cruzeiro e lembrando que a potência utilizada é de 70%, então, temos:

η p = P s 0,7 P e η = F D V 0,7 P e η

Substituindo os valores conhecidos, temos:

η p = 29,8 4,81 0,7 290 0,9 → η p = 0,785

Agora, para a potência de propulsão, temos:

P p = 0,7 η P e = 0,7 0,9 290 → P p = 182,7   W

E, sabemos que sua equação é dada por:

P p = ω T → T = P p ω = 182,7 107 2 π 60 → T = 16,3   N . m

Então, teremos um C T de:

C T = T ρ n 2 D 5 = 16,3 1,23 107 60 2 3,6 5 → C T = 0,00689

E, por fim, o coeficiente de potência será:

C p = C T n = 0,00689 107 60 → C p = 0,00386

Resposta

J = 0,749

C F = 0,0453

C T = 0,00689

C p = 0,00386

η p = 0,785

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