Enunciado

Considere a solução de Blasius para uma camada limite laminar sobre uma placa plana. A inclinação adimensional na parede é dada pela Equação 8 do Exemplo 10-10. Transforme esse resultado em variáveis físicas e mostre que a Equação 9 do Exemplo 10-10 está correta.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é ir no Exemplo 10-10 e pegar a equação da inclinação adimensional na parede dada pela Equação 8:

d u U d η η = 0 = 0,332

Agora, da função de Blasius para a variável de similaridade η , temos:

η = y U ν x → y = η ν x U

Então, agora conseguimos escrever uma expressão para a derivada em relação a η , lembrando de aplicar a regra da cadeira pois y depende de η , assim, podemos escrever:

d d η = d d y . d y d η

Então, substituindo a expressão para y nessa equação, temos:

d d η = d d y . d η ν x U d η → d d η = d d y ν x U

Passo 2

Agora podemos reescrever a equação 8, substituindo a expressão que encontramos no passo 1 para d / d η , então teremos:

d u U d η η = 0 = 0,332 → d u U d y ν x U y = 0 = 0,332

d u d y y = 0 ν x U 3 = 0,332 → d u d y y = 0 = 0,332 U 3 ν x

Então, sabemos que por definição a tensão de cisalhamento τ w é dada por:

τ w = μ . ∂ u ∂ y y = 0 → τ w = μ . d u d y y = 0

Podemos substituir agora a expressão para d u / d y encontrada ali em cima na equação para a tensão de cisalhamento, chegando em:

τ w = μ 0,332 U 3 ν x

Passo 3

Agora vamos reescrever a expressão do passo 2 para deixar no formato que o enunciado pediu, mostrado na equação 9, então teremos:

τ w = μ 0,332 U 3 ν x = 0,332 ρ ν U U ν x = 0,332 ρ U ν 2 U ν x = 0,332 ρ U ν U x

Agora, multiplicando a equação por U / U , chegaremos em:

τ w = 0,332 ρ U . U U ν U x → τ w 0,332 ρ U 2 ν U x

Então, sabendo que o número de Reynolds é dado por:

R e x = U x ν → ν U x = 1 R e x

Substituindo essa expressão na equação anterior, chegamos em:

τ w = 0,332 ρ U 2 1 R e x

Que é exatamente a expressão da equação 9 do exemplo 10-10. Finalizamos por aqui então!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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