Enunciado

Considere duas tomadas de pressão ao longo da parede de uma camada limite laminar como na Figura P10-68. O fluido é o ar à temperatura de 25 °C, U 1 = 10,3   m / s e a pressão estática P 1 é 2,44 Pa acima da pressão estática P 2 , medida por um transdutor de pressão diferencial bastante sensível. A velocidade do escoamento externo U 2 é maior do que, igual a ou menor do que a velocidade do escoamento externo U 1 ? Explique. Estimar U 2 .

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que devemos lembrar é que pela aproximação da camada limite, a pressão P é constante quando normal à camada limite, mas não é necessariamente constante ao longo do comprimento da camada limite. Então, com isso, para qualquer linha de corrente ao longo da camada limite, a pressão na região superior do escoamento externo é a mesma daquela na parede do escoamento.

Agora, aplicando a equação de Bernoulli para a região do escoamento externo, com o auxílio da equação 10-86 vista nesse capítulo, temos:

- U . d U d x = 1 ρ . d P d x → d U d x = - 1 ρ U . d P d x

Passo 2

Agora, para pequenos valores de Δ x , que é o nosso caso, conforme dito no enunciado, podemos aproximar a velocidade U 2 como:

U 2 ≅ U 1 + d U d x Δ x

Isolando a expressão d U / d x dessa expressão, chegamos em:

U 2 - U 1 = d U d x Δ x → d U d x = U 2 - U 1 Δ x

Da mesma forma, para pequenos valores de Δ x , a pressão P 2 pode ser escrita como:

P 2 ≅ P 1 + d P d x Δ x

Isolando a expressão d P / d x , chegamos em:

P 2 - P 1 = d P d x Δ x → d P d x = P 2 - P 1 Δ x

Passo 3

Agora então nós vamos substituir as expressões para U 2 e P 2 encontradas no passo 2 na expressão encontrada lá no passo 1, de modo que teremos:

d U d x = - 1 ρ U . d P d x → U 2 - U 1 Δ x = - 1 ρ U P 2 - P 1 Δ x

Isolando U 2 dessa expressão, chegamos em:

U 2 - U 1 = - P 2 - P 1 ρ U 1 → U 2 = U 1 - P 2 - P 1 ρ U 1

Agora, com essa expressão em mãos, como a pressão diminui ao longo do escoamento, teremos P 1 maior que P 2 , com isso, o segundo termo da equação acima será negativo, e com o sinal negativo que já temos, iremos acabar somando essa segunda parcela ao valor de U 1 , dessa forma a velocidade U 2 será maior do que U 1 .

Passo 4

Agora, precisamos ir lá na tabela A.9 do apêndice A para pegar as propriedades do ar na temperatura de 25 °C, então, teremos:

ρ = 1,184   k g / m 3

Então, com isso, podemos substituir os valores conhecidos na equação encontrada para U 2 no passo 3, então teremos:

U 2 = U 1 - P 2 - P 1 ρ U 1 = 10,3 - - 2,44 1,184 10,3

U 2 = 10,5   m / s

Pronto! Era isso!

Resposta

U 2 = 10,5   m / s

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