Enunciado

Considere as superfícies negras inclinadas ( A 1 e A 2 ), muito longas,mantidas nas temperaturas uniformes de T 1   =   1000   K e T 2   =   800   K .

Determine a troca de radiação líquida entre as superfícies por unidade de comprimento das superfícies. Considere a configuração quando uma superfície negra ( A 3 ), cuja superfície posterior é isolada termicamente, está posicionada ao longo da linha tracejada mostrada na figura. Calcule a transferência de radiação líquida para a superfície A 2 , por unidade de comprimento da superfície, e determine a temperatura da superfície isolada A 3 .

Passo 1

Vamos lá!! Temos duas superfícies negras que dividem uma aresta em comum, formando um ângulo de α = 60 ° e a primeira coisa que queremos é descobrir a troca de radiação líquida entre A 1 e A 2 por unidade de comprimento!

O problema nos fornece um desenho:

Para calcular a taxa de radiação entre as duas superfícies q 1 - 2 , temos:

q 1 - 2 = A 1 F 1 - 2 σ T 1 4 - T 2 4

Passo 2

Antes de qualquer coisa temos que conhecer o fator de forma, F 1 - 2 .

Sempre que a gente tiver em uma situação bidimensional , com de placas planas inclinadas de mesma largura que compartilham uma aresta, calculamos o fator de forma assim:

F 1 - 2 = 1 - sin ⁡ α 2

Com α = 60 ° :

F 1 - 2 = 1 - sin ⁡ 60 ° 2 = 0,5

E por fim, o problema quer a taxa de radiação por unidade de comprimento, l :

q 1 - 2 ' = q 1 - 2 l

Substituindo, temos:

q 1 - 2 ' = A 1 F 1 - 2 σ T 1 4 - T 2 4 l

O problema é que a gente não conhece o comprimento, nem a área das placas, mas:

A = l × L

L = A l = 100   m m = 0,1   m

A largura a gente conhece!! Sabendo que σ = 5,67 × 10 - 8   W / m 2 K 4 , podemos calcular q 1 - 2 ' :

q 1 - 2 ' = 0,1 × 0,5 × 5,67 × 10 - 8 × ( 1000 4 - 800 4 )

Calculando:

q 1 - 2 ' = 1673,8   W / m

Passo 3

Agora gente tem uma segunda situação:

Agora estamos trabalhando com cavidade fechada e queremos descobrir T 3 !

Se a gente calcular q 3 ' , temos que considerar a troca de radiação das superfícies A 1 e A 2 :

q 3 ' = A 3 l F 3 - 1 σ T 3 4 - T 1 4 + A 3 l F 3 - 2 σ T 3 4 - T 2 4

Observando a imagem percebemos que:

α 3 - 1 = α 3 - 2 = α 1 - 2 = 60 °

Então:

F 3 - 1 = F 3 - 2 = F 1 - 2 = 0,5

Sabendo que a superfície A 3 é isolada, q 3 ' = 0 , então:

A 3 l F 1 - 2 σ T 3 4 - T 1 4 + A 3 l F 1 - 2 σ T 3 4 - T 2 4 = 0

Podemos escrever:

A 3 l F 1 - 2 σ T 3 4 - T 1 4 = A 3 l F 1 - 2 σ - T 3 4 + T 2 4

Cortando os termos em comum:

T 3 4 - T 1 4 = - T 3 4 + T 2 4

Isolando T 3 :

T 3 = T 2 4 + T 1 4 2 1 4

Substituindo:

T 3 = 800 4 + 1000 4 2 1 4

Calculando:

T 3 = 916,3   K

Passo 4

E pra terminar só falta calcularmos q 2 ' :

q 2 ' = A 2 l F 2 - 1 σ T 2 4 - T 1 4 + A 2 l F 2 - 3 σ T 2 4 - T 3 4

Como:

F 2 - 3 = F 2 - 1 = 0,5

Podemos colocar alguns termos em evidência:

q 2 ' = A 2 l F 2 - 1 σ 2 T 2 4 - T 1 4 - T 3 4

Substituindo:

q 2 ' = 0,1 × 0,5 × 5,67 × 10 - 8 ( 2 × 800 4 - 1000 4 - 916,3 4 )

Calculando:

q 2 ' = - 2511   W / m

Uhuuul!!

Resposta

q 1 - 2 ' = 1673,8   W / m

q 2 ' = - 2511   W / m

T 3 = 916,3   K

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