Enunciado

67 – Considere uma tubulação de vapor de comprimento L = 9   m ,raio interno r 1 = 5   c m , raio externo r 2 = 6   c m e condutividade térmica k = 12,5 W m ⋅ ℃ . O valor flui pelo tubo a uma temperatura média de 150   ℃ , e o coeficiente médio de transferência de calor por convecção na superfície interna é h = 70 W m 2 ℃ . Considerando que a temperatura média na superfície externa da tubulação é T 2 = 80   ℃ , (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da tubulação, (b) obtenha a relação para a variação da temperatura no tubo resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a taxa de perda de calor do vapor através da tubulação.

Passo 1

Escreva a equação diferencial para a condução de calor unidimensional em estado estacionário no cilindro.

d d r r d T d r = 0 … … .   1

A primeira condição de limite interno é a transferência de calor por processo de convecção para a parede interna do cilindro.

h T s - T r 1 = - k d T d r ( r 1 )

Aqui  T s   é a temperatura do vapor,  h  é o coeficiente de transferência de calor na superfície interna e  k  é a condutividade térmica do material do tubo.

A segunda condição de contorno é que a parede externa do cilindro esteja a uma temperatura de  80   ℃ .

Passo 2

b)

Integre a equação (1).

r d T d r = C 1

d T d r = C 1 r

Aqui,  C 1 é uma constante.

Integre a equação acima novamente.

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2 … … .   ( 2 )

Aqui, C 2 também é uma constante a ser determinada.

Considere a primeira condição de limite.

h T s - T r 1 = - k d T d r ( r 1 )

Substituindo T r 1 por   ( C 1 ln ⁡ r 1 + C 2 ) e d T d r r 1 por C 1 r 1 .

h T s - C 1 ln ⁡ r 1 + C 2 = - k C 1 r 1

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

70 150 - C 1 ln ⁡ 0,05 + C 2 = - 12,5 C 1 0,05

10500 + 2,99 C 1 + C 2 + 250 C 1 = 0

252,99 C 1 + C 2 + 10500 = 0 … … … ( 3 )

Considere a segunda condição de limite.

T r 2 = 80   ℃

Substitua T ( r 2 ) por ( c 1 ln ⁡ r 2 + C 2 )

C 1 ln ⁡ r 2 + C 2 = 80   ℃

C 1 ln ⁡ 0,06 + C 2 = 80   ℃

- 2,81 C 1 + C 2 = 80 … … … ( 4 )

Resolvendo as equações (3) e (4).

C 1 = - 4,5168

C 2 = 67,31

Substitua esses valores na equação (2).

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2

T r = - 4,52 ln ⁡ r + 67,31

Portanto, a variação de temperatura no tubo é    T r = - 4,52 ln ⁡ r + 67,31

Passo 3

c) a taxa de perda de calor do vapor através da tubulação, pode ser obtida por meio da equação.

Q = h 2 π r 1 L T s - T r 1

Substitua T r 1 por - 4,52 ln ⁡ r + 67,31

Q = h 2 π r 1 L T s + 4,52 ln ⁡ r 1 - 67,31

Substitua pelos valores conhecidos.

Q = 70 ( 2 π ⋅ 0,05 ⋅ 9 ) ( 150 + 4,52 ln ⁡ 0,05 - 67 , 31 )

Q = 197,92 ⋅ 69,96

Q = 13846,1   W

Resposta

a)

d d r r d T d r = 0

E as condições de contorno são:

h T s - T r 1 = - k d T d r ( r 1 )

T r = 80   ℃

b) T r = - 4,52 ln ⁡ r + 67,31

c) Q = 13846,1   W

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