Enunciado

70 – Reconsidere o Prob. 2-69. Usando a relação obtida para a variação de temperatura no contêiner, trace a temperatura como função do raio r no intervalo de r = r 1 a r = r 2 e discuta os resultados. Use EES (ou outro programa).

Passo 1

Uma vez que 10% do calor é perdido na superfície externa do recipiente. Encontre a quantidade máxima de fluxo de calor no aquecedor usando a equação.

q ˙ s = 0,9 × Q A 2

= 0,9 × Q 4 π r 2 2

q ˙ s = 0,9 × 800 4 π × 0,41 2

340,843   W / m 2

Passo 2

Escreva a equação geral de condução de calor na direção radial, estado estacionário sem geração interna de calor.

d d r r 2 d T d r = 0

Integre a equação diferencial acima,

∫ d d r r 2 d T d r = 0

r 2 d T d r = C 1

d T d r = C 1 r 2 … … . .   ( 1 )

Aqui C 1 é a constante de integração.

Novamente, integre a equação acima,

∫ d T = ∫ C 1 r 2 d r

T = - C 1 r + C 2 … … .   ( 2 )

Aqui, C 2 é a constante de integração.

Aplique a segunda condição de contorno para encontrar o valor constante  C 1 da equação (1). Assumindo que:

k d T r 2 d r = q ˙ s

r = r 2

d T d r = C 1 r 2

q ˙ s k = C 1 r 2 2

C 1 = q ˙ s ⋅ r 2 2 k

Passo 3

Aplique a primeira condição de contorno para encontrar o valor constante  C 1 da equação (2). Logo, temos que r = r 1 e T = T 1 = 120   ℃

T = - C 1 r + C 2

T 1 = - q ˙ s ⋅ r 2 2 k r 1 + C 2  

C 2 = T 1 + q ˙ s ⋅ r 2 2 k r 1

Agora substitua esse valor de C 2 e o valor de C 1 na equação (2).

T = - C 1 r + C 2

= q ˙ s ⋅ r 2 2 k r + T 1 + q ˙ s ⋅ r 2 2 k r 1

= T 1 + q ˙ s ⋅ r 2 2 k 1 r 1 - 1 r

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

T = 120 + 340,843 × 0,41 2 1,5 1 0,4 - 1 r

T = 120 + 38,19 1 04 - 1 r

Portanto, a distribuição de temperatura no recipiente é 

T = 120 + 38,19 1 0 , 4 - 1 r

Passo 4

Agora tabule os valores da temperatura em diferentes valores, do raio interno  r 1 = 0,4   m   até  r 2 = 0,41   m , como mostrado abaixo:

Agora plote o gráfico que mostra a variação de temperatura em função do raio  r .

Percebemos que com o aumento do raio, temos um aumento da temperatura.

Resposta

Percebemos que com o aumento do raio, temos um aumento da temperatura.

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