Enunciado

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Uma correia contínua, movendo com velocidade U 0 para cima através de um banho químico, arrasta uma película de líquido de espessura h , massa específica ρ e viscosidade μ . A gravidade tende a fazer com que o líquido desça, mas o movimento da correia impede que ele retorne completamente. Admita que o escoamento seja laminar, completamente desenvolvido, com gradiente de pressão zero e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película. Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y = 0 e y = h . Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.

Passo 1

Tá legal, vamos começar esse exercício aplicando o equilíbrio de momento na direção x para o elemento diferencial ilustrado na figura do enunciado, então, temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Nesse caso, como temos regime permanente a derivada no tempo da integral sobre o volume de controle será igual a zero. Também temos escoamento totalmente desenvolvido, então a integral sobre a superfície de controle será igual a zero. Nesse caso, a equação irá se resumir às forças de superfície e a força de campo, então, teremos:

F 1 - F 2 - F B x = 0 → τ 1 A 1 - τ 2 A 2 - ρ g d x d y d z = 0

Em que F 1 é a força do lado oposto a correia e F 2 a força no elemento do lado da correia. Agora, conforme vimos no Exemplo 8.3, podemos escrever as tensões de cisalhamento nas faces esquerda e direita como:

τ 1 = τ + d τ d y . d y 2

τ 2 = τ - d τ d y . d y 2

Então, substituindo essas expressões na equação acima, temos:

τ 1 A 1 - τ 2 A 2 - ρ g d x d y d z = 0 → τ + d τ d y . d y 2 d x d z - τ - d τ d y . d y 2 d x d z - ρ g d x d y d z = 0

Então, aplicando a distributiva e simplificando os diferenciais que aparecem em todos os termos, temos:

τ + d τ d y . d y 2 - τ - d τ d y . d y 2 - ρ g d y = 0 → d τ d y + d τ d y - ρ g = 0 → d τ d y = ρ g

Passo 2

Agora vamos integrar a expressão obtida no passo 1 com relação a y , então, teremos:

∫ d τ d y d y = ∫ ρ g d y → τ = ρ g y + c 1

No entanto, sabemos que a tensão de cisalhamento pode ser escrita como:

τ = μ d u d y

Então, substituindo essa expressão na equação de cima, temos:

μ d u d y = ρ g y + c 1 → d u d y = ρ g y μ + c 1 μ

Agora, vamos integrar novamente essa expressão em y , e chegaremos em:

u = ρ g y 2 2 μ + c 1 y μ + c 2

Passo 3

Agora, para encontrar as constantes c 1 e c 2 para u , vamos utilizar as condições de contorno que nós conhecemos, da ilustração do enunciado, temos que:

y = 0 → u = U 0

Então, substituindo esses valores na equação para u , temos:

u = ρ g y 2 2 μ + c 1 y μ + c 2 → U 0 = ρ g ( 0 ) 2 2 μ + c 1 ( 0 ) μ + c 2 → c 2 = U 0

Agora, a outra condição de contorno é que na superfície em contato com o ambiente, não temos cisalhamento, dessa forma, temos:

y = h → τ = μ d u d y = 0

Então, substituindo esses valores na equação abaixo, temos:

μ d u d y = μ ρ g y μ + μ c 1 μ → 0 = ρ g h + c 1 → c 1 = - ρ g h

Então, a equação para o perfil de velocidade u será:

u = ρ g y 2 2 μ + c 1 y μ + c 2 → u = ρ g y 2 2 μ - ρ g h y μ + U 0

Resposta

u = ρ g y 2 2 μ - ρ g h y μ + U 0

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