Enunciado

Uma corrente de fluido incompressível movendo-se a baixa velocidade sai de um bocal apontado diretamente para baixo. Considere que a velocidade em qualquer seção reta seja uniforme e despreze efeitos viscosos. A velocidade e a área do jato na saída do bocal são V 0 e A 0 respectivamente. Aplique a equação da conservação de massa e a equação da quantidade de movimento a um volume de controle diferencial de comprimento d z na direção do escoamento. Deduza expressões para as variações da velocidade e da área do jato como funções de z . Encontre a posição na qual a área do jato é a metade do seu valor original. (Adote a origem de coordenadas na saída do bocal.)

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício ilustrando o problema e desenhando o volume de controle conforme pedido no enunciado:

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade para o sistema, nesse caso, teremos:

0 = ∂ ∂ t ∫ V C   ρ d V + ∫ S C   ρ V → . d A →

Então, nesse caso, aplicando entre o pontos de entrada e saída do volume de controle desenhado, sabendo que o escoamento se dá em regime permanente, então podemos cancelar a derivada no tempo, temos:

0 = - ρ V A + ρ V + d V A + d A → V 0 A 0 = V A = V + d V A + d A

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação 4.18c apresentada nessa seção do equilíbrio de momento, para o volume de controle do passo 1:

F z = F S z + F B z = ∂ ∂ t ∫ V C   w ρ d V + ∫ S C   w ρ V → . d A →

Como o escoamento se dá em regime permanente, então a derivada no tempo será zero, e como todo o nosso volume de controle está exposto ao ambiente, não teremos força resultante de superfície, logo F S z = 0 , dessa forma, a equação se torna:

ρ g A + d A 2 d z = w 1 - ρ V A + w 2 ρ V + d V A + d A

E, nesse caso, temos w 1 = V e w 2 = V + d V , então, substituindo os valores conhecidos:

ρ g A + d A 2 d z = - ρ V 2 A + ( V + d V ) ρ V + d V A + d A

No entanto, como vimos no passo 1 através da continuidade, temos ( V + d V ) ( A + d A ) = V A , então a equação se torna:

ρ g A + d A 2 d z = - ρ V 2 A + ( V + d V ) ρ V A

Nesse caso, como sabemos que a multiplicação de dois infinitesimais, como d A e d z será um valor bem pequeno, então podemos desconsiderar esse termo e a equação se torna:

ρ g A d z = ρ V A d V → V d V = g d z

Passo 3

Agora vamos integrar a relação obtida no passo 2, então:

∫ V 0 V V d V = ∫ z 0 z g d z

Resolvendo as duas integrais, temos:

V 2 2 V 0 V = g z z 0 z

Substituindo os limites de integração, temos:

V 2 2 - V 0 2 2 = g z - g z 0 → V 2 2 = V 0 2 2 + g z - z 0

Então, a expressão para a velocidade em função da altura z será:

V = V 0 2 + 2 g ( z - z 0 )

Passo 4

Agora, para encontrar uma expressão para a área do jato em função de z , podemos usar a equação da continuidade lá do passo 1, onde vimos que:

V 0 A 0 = V A

Então, substituindo a expressão encontrada para V no passo 3, temos:

V 0 A 0 = V 0 2 + 2 g ( z - z 0 ) A → A = V 0 A 0 V 0 2 + 2 g ( z - z 0 )

Passo 5

Agora, para encontrar a posição na qual a área do jato é metade do seu valor original, vamos usar a equação da área encontrada no passo 4 e fazer:

A A 0 = 1 2 = V 0 V 0 2 + 2 g ( z - z 0 )

Considerando z 0 = 0 , temos:

1 2 = 1 1 + 2 g z V 0 2   → 1 + 2 g z V 0 2 = 2

Elevando ambos os lados ao quadrado para sumir com a raiz, temos:

1 + 2 g z V 0 2 = 4 → z = 3 V 0 2 2 g

Resposta

A = V 0 A 0 V 0 2 + 2 g ( z - z 0 )

A = V 0 A 0 V 0 2 + 2 g ( z - z 0 )

z = 3 V 0 2 2 g

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

4.90 Uma montagem com um bocal curvo que descarrega para a atmosfera é mostrada. A massa do bocal é 4,5 kg e seu volume interno é de 0,002 m³. O fluido é a água. Determine a força de reação exercida p
4.92 Um cotovelo redutor de 30° é mostrado. O fluido é água. Avalie as componentes da força que deve ser aplicada pelos tubos adjacentes para manter o cotovelo estático.
4.84 Um motor de foguete e combustível líquido consome, na condição de empuxo nominal, 80 kg/s de ácido nítrico como oxidante e 32 kg/s de anilina como combustível. Os gases de escape saem axialmente
4.87 Um jato livre de água, com área de seção transversal constante e igual a 0,01 m², é defletido por uma placa suspensa de 2 m de comprimento, suportada por uma mola com constante k = 500N / m e o c
4.89 A figura mostra um redutor em uma tubulação. O volume interno do redutor é 0,2 m³ e a sua massa é 25 kg. Avalie a força total de reação que deve ser feita pelos tubos adjacentes para suportar o r