Enunciado

Uma corrente uniforme de velocidade V é inclinada de um ângulo a em relação ao eixo x (Figura P9-48). O escoamento é estacionário, bidimensional e incompressível. As componentes cartesianas de velocidade são u = V ⋅ cos ⁡ α e v = V ⋅ sen ⁡ α . Encontre uma expressão para função corrente para esse escoamento.

Passo 1

Essa é uma questão muito comum de função corrente ψ . Nela, o enunciado pede para a gente deduzir uma expressão para a função corrente ψ a partir das equações de u (componente horizontal da velocidade ou projeção da velocidade no eixo x ) e de v (componente vertical da velocidade ou projeção no eixo y ).

A figura abaixo mostra os dados que temos para encontrar essa expressão de ψ .

onde ψ é a função corrente do escoamento, ψ 0 é o valor da função corrente da linha de corrente que corta o eixo y em y 0 = 0 , ψ 1 é o valor da função corrente da linha de corrente que corta o eixo y em y 1 , ψ 2 é o valor da função corrente da linha de corrente que corta o eixo y em y 2 . v é a componente vertical da velocidade do fluido, u é a componente horizontal da velocidade do fluido. V é a velocidade total do fluido. α é a inclinação das linhas de corrente em relação ao eixo x .

Depois de entender todos esses dados, podemos entender como encontrar uma expressão para ψ a partir das velocidade v e u .

Passo 2

Para descobrir as fórmulas das componentes da velocidade no eixo x u e no eixo y   v , derivamos parcialmente a função corrente ψ . E como fazemos o inverso? Ou seja, como descobrimos uma fórmula para a função corrente ψ a partir das componentes da velocidade ( u e v )?

Para fazer esse caminho inverso, usamos o inverso da derivada: a integral! Em outras palavras, descobrimos uma fórmula para a função corrente ψ , integrando as componentes da velocidade ( u e v ).

A primeira etapa para fazer isso é usar a fórmula de cálculo de u e v em função de ψ (equações 9-20 do livro) e substituir as equações de u e v dadas pelo enunciado.

u = ∂ ψ ∂ y       ⟹       V ⋅ c o s α = ∂ ψ ∂ y       ⟹       ∂ ψ ∂ y = V ⋅ c o s α

v = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       V ⋅ s e n α = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       ∂ ψ ∂ x = - V ⋅ s e n α

Passo 3

Agora vamos integrar a equação de u em relação a y e encontrar a função corrente ψ . Dizendo isso de outra forma, vamos pensar qual função que, ao ser derivada parcialmente em relação a y , seria igual a u   u = V .

∂ ψ ∂ y = V ⋅ c o s α       ⟹       ∫ ∂ ψ ∂ y d y = ∫ V ⋅ c o s α ⋅ d y       ⟹       ψ = V ⋅ c o s α ⋅ y + g x

Depois da integração em y , encontramos que ψ é a soma entre um termo em função de y e uma função de x g ( x ) . Ou seja, a função, cuja derivada parcial em y vale V ⋅ c o s α é a soma entre um termo em função de y V ⋅ c o s α ⋅ y e outro em função de x g x . Mas por que tem uma função de x nessa integração, se só houve integração em relação à variável y ?

Isso ocorre, porque quando derivamos parcialmente a função ψ em relação a y , os termos que são funções de x g x são considerados constantes! Ou seja, g x nada mais é do que a constante de integração da integral em y !

Para achar g x , temos que derivar parcialmente em x a função ψ que encontramos.

Passo 4

Derivando parcialmente ψ , achamos que:

∂ ψ ∂ x = ∂ ∂ x V ⋅ c o s α ⋅ y + g x       ⟹       ∂ ψ ∂ x = g ' x

onde g ' x é a derivada de g x .

Substituindo a fórmula de ∂ ψ ∂ x nessa equação:

g ' x   = ∂ ψ ∂ x     ⟹       g ' x   = - V ⋅ s e n α

Agora podemos integrar essa derivada em relação a x para achar g x .

g ' x   = - V ⋅ s e n α       ⟹       ∫ g ' x d x = - V ⋅ s e n α ⋅ x + C       ⟹       g x = - V ⋅ s e n α ⋅ x + C

onde C é uma constante de integração.

Substituindo isso na fórmula de ψ , achamos:

ψ = V ⋅ c o s α ⋅ y + g x       ⟹       ψ = V ⋅ c o s α ⋅ y - V ⋅ s e n α ⋅ x + C

Resposta

ψ = V ⋅ c o s α ⋅ y - V ⋅ s e n α ⋅ x + C

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