Enunciado

Deixa-se cair livremente uma esfera de massa específica 2040 kg/m³ num tanque que contém glicerina de massa específica 1290 kg/m³ e viscosidade cinemática 2,7.10 - 2   m 2 / s . A velocidade final constante da esfera é tal que R e = 0,1 . Qual é a força de arrasto na esfera e qual é a velocidade final?

Passo 1

Através do equilíbrio de forças da esfera, podemos escrever:

G = E + F a

Em que G é o peso específico da esfera, E é o empuxo exercido pelo líquido e F a é a força de atrito exercida pelo fluido, então, reescrevendo essa equação, temos:

γ e V e = γ f V f + C a ρ f v 2 A f r o n t a l 2

Sabemos que o volume de uma esfera é dado por π D 3 / 6 e a área frontal de contato seria a seção transversal da esfera, que seria equivalente a área de um círculo com diâmetro D , então, reescrevendo a equação, temos:

γ e π D 3 6 = γ f π D 3 6 + C a ρ f v 2 π D 2 4 2

Simplificando a equação dividindo por π D 2 e sabendo que o peso específico é dado por ρ g , temos:

ρ e g D 6 = ρ f g D 6 + C a ρ f v 2 8

Passo 2

Agora, vamos encontrar o valor de C a , como o enunciado nos disse que R e = 0,1 < 1 , então podemos usar a seguinte equação:

C a = 24 R e = 24 0,1 → C a = 240

Agora vamos usar a fórmula de Reynolds para escrever o diâmetro da tubulação em função da velocidade da esfera, para depois substituir na equação do passo 1, então:

R e = v D ν → D = ν R e v

Substituindo esse valor na expressão do passo 1, temos:

ρ e g D 6 = ρ f g D 6 + C a ρ f v 2 8 → ρ e g 6 ν R e v = ρ f g 6 ν R e v + C a ρ f v 2 8

Multiplicando toda a equação por 24 v para eliminar os denominadores e depois isolando v , temos:

4 ρ e g ν R e - 4 ρ f g ν R e = 3 C a ρ f v 3 → v = 4 g ν R e ( ρ e - ρ f ) 3 C a ρ f 3

Substituindo os valores conhecidos na equação anterior, temos o valor da velocidade final:

v = 4 ( 10 ) ( 2,7.10 - 2 ) ( 0,1 ) ( 2040 - 1290 ) 3 ( 240 ) ( 1290 ) 3 → v = 0,044   m / s

Passo 3

Dessa forma, substituindo o valor da velocidade na equação para o diâmetro encontrada no passo 2, temos:

D = ν R e v = 2,7.10 - 2 0,1 0,044 → D = 0,061   m

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para o arrasto lá do passo 1, temos:

F a = C a ρ f v 2 π D 2 4 2 = 240 1290 0,044 2 π 0,061 2 4 2 → F a = 0 , 876   N

Resposta

F a = 0,876   N

v = 0,044   m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um misturador rotativo é construído com dois discos circulares, conforme mostrado. O misturador é acionado a 60 rpm dentro de um grande vaso contendo uma solução de salmoura (SG = 1,1). Despreze o arr
Umagrandeturbinaeólicadetrêslâminascomeixohorizontal(HAWT)podeserdanificadaseavelocidadedoventoformuito grande.Paraevitaresteproblema,aslâminasdaturbinapodemserorientadasdetalformaqueestejamparalelasa
Um objeto de massa m, de área de seção transversal igual à metade da área do tubo, cai em um tubo de correio. O movimento é em regime permanente. A área da esteira é 3/4 da área do tubo na sua seção m
Você é um engenheiro recémformado e decide fazer com que um misturador rotativo seja melhorado por meio da substituição dos discos por anéis. Os anéis podem ter a vantagem adicional de fazer com que o
Uma ciclista pode atingir uma velocidade máxima de 30 km/h em um dia calmo. A massa total da ciclista e da bicicleta é 65 kg. A resistência de rolamento dos pneus é F R = 7,5 N, e o coeficiente de arr