Enunciado

Uma das demonstrações populares em feiras de ciências envolve a suspensão de uma bola de ping-pong por um jato de ar dirigido para cima. As crianças ficam encantadas observando que a bola sempre retorna para o centro do jato de ar quando ela é empurrada para o lado com o dedo. Explique esse fenômeno usando a equação de Bernoulli. Determine também a velocidade do ar se a bola tiver uma massa de 2,6 g e um diâmetro de 3,8 cm. Suponha que o ar está a 1 atm e 25 °C.

Passo 1

Antes de começar esse exercício, nós vamos lá na tabela A.9 do apêndice A para pegar as propriedades de interesse do ar nas condições de 1 atm e 25 °C, de onde teremos:

ρ a = 1,184   k g / m 3

ν a = 1,562 . 10 - 5   m 2 / s

Beleza! Nós sabemos então que a velocidade terminal de um objeto em queda livre, ou nesse caso, a suspensão de um objeto ou partícula no ar, ocorre quando a força de arrasto se iguala ao peso do objeto em queda menos a força de empuxo exercida pelo meio em que está, ou seja, resumindo isso, temos:

F D = W - F E

Sabendo que a força de arrasto é dada por:

F D = C D A ρ a V 2 2

Em que, nesse caso, a área corresponde a área transversal da base do cilindro, ou seja:

A = π D 2 4

Substituindo essa expressão na equação da força de arrasto, chegamos em:

F D = C D π D 2 ρ a V 2 8

Agora, sabendo que o peso da bola pode ser escrito como:

W = m g

E, que, por sua vez, a força de empuxo é dada pela força exercida pelo ar na bola, ou seja:

F E = ρ a V g = ρ π D 3 6 g → F E = ρ a π g D 3 6

Passo 2

Agora então, nós vamos substituir as expressões encontradas para a força de arrasto, para o peso da partícula de pó e para a força de empuxo lá na equação do passo 1, então teremos:

F D = W - F E → C D π D 2 ρ a V 2 8 = m g - ρ a π g D 3 6

C D π D 2 ρ a V 2 8 = m g - ρ a π g D 3 6

Substituindo os valores conhecidos e isolando a velocidade dessa equação, chegamos em:

C D π 0,038 2 1,184 V 2 8 = 2,6.10 - 3 9,81 - 1,184 π 9,81 0,038 3 6

6,714.10 - 4 C D V 2 = 0,02517 → V = 6,123 C D

Passo 3

Agora, como precisamos determinar o coeficiente de arrasto, o que, por sua vez, depende do número de Reynolds. Então, sabendo que Reynolds é dado por:

R e = V D ν

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, teremos:

R e = V 0,038 1,562 . 10 - 5 → R e = 2432,8 V

Precisamos da velocidade para encontrar o número de Reynolds para poder encontrar o coeficiente de arrasto e, por sua vez, determinar a velocidade real. Então, estamos em um problema clássico de iteração. Nesse caso, precisamos chutar um valor de V , vamos começar com:

V = 10   m / s

Para esse valor de velocidade, nosso Reynolds será:

R e = 2432,8 10 → R e = 24328 = 2,43 . 10 4

Então, agora precisamos ir lá na figura 11-34 que vimos nesse capítulo para encontrar o coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds que encontramos. Então com o auxílio da figura 11-34 a seguir:

Para o nosso número de Reynolds então, conforme destacado no gráfico acima, teremos:

C D = 0,5

Com isso, substituindo esse valor na equação para a velocidade encontrada no passo 2, temos:

V = 6,123 C D = 6,123 0 , 5 → V = 8,66   m / s

Passo 4

Agora vamos realizar mais uma iteração, então, com o valor de velocidade encontrado no passo 3, teremos o seguinte número de Reynolds:

R e = 2432,8 8,66 → R e = 21068 = 2 , 11 . 10 4

Então, agora precisamos ir lá na figura 11-34 que vimos nesse capítulo para encontrar o coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds que encontramos. Então com o auxílio da figura 11-34 a seguir:

Para o nosso número de Reynolds então, conforme destacado no gráfico acima, teremos:

C D = 0,42

Com isso, substituindo esse valor na equação para a velocidade encontrada no passo 2, temos:

V = 6,123 C D = 6,123 0 , 42 → V = 9,4 5   m / s

Como houve pequena variação do valor da velocidade comparado ao valor encontrado no passo 3, podemos tomar essa velocidade como sendo a velocidade do escoamento de ar.

Resposta

V = 9,45   m / s

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