Enunciado

Um tronco de pinho cilíndrico de 2 m de comprimento e 0,2 m de diâmetro (densidade = 513 kg/m³) é suspenso por um guindaste na posição horizontal. O tronco está sujeito a ventos normais de 40 km/h a 5 °C e 88 kPa. Desconsiderando o peso do cabo e seu arrasto, determine o ângulo θ que o cabo fará com a horizontal e a tensão no cabo.

Passo 1

Antes de começar esse exercício, nós vamos lá na tabela A.9 do apêndice A para pegar a viscosidade dinâmica do ar a 5 °C, já que ela independe da pressão, para que depois possamos calcular as demais propriedades. Então teremos:

μ a = 1,754 . 10 - 5   k g / m . s

Então, da equação de gás ideal, podemos calcular a densidade do ar nessas condições, então teremos:

ρ = P R T = 88 0,287 ( 273 + 5 ) → ρ a = 1,103   k g / m 3

Agora, a viscosidade cinemática pode ser encontrada através de:

ν a = μ a ρ a = 1,754.10 - 5 1,103 → ν a = 1,59.10 - 5   m 2 / s

Agora, com essas informações, podemos calcular o número de Reynolds para o escoamento, que é dado por:

R e D = V D ν

Então, substituindo os valores conhecidos (lembrando de utilizar a velocidade em m/s), chegamos em:

R e D = 40 3,6 0,2 1,59.10 - 5 → R e D = 1,4.10 5

Passo 2

Então, agora precisamos ir lá na figura 11-34 que vimos nesse capítulo para encontrar o coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds que encontramos. Então com o auxílio da figura 11-34 a seguir:

Para o nosso número de Reynolds então, conforme destacado no gráfico acima, teremos:

C D = 1 , 2

Então, sabendo que o coeficiente de arrasto é dado por:

F D = C D A ρ V 2 2

E sabendo que a área de escoamento nesse caso é a área transversal frontal do cilindro, dada por:

A = L D

A equação acima para a força de arrasto se torna:

F D = C D L D ρ V 2 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

F D = 1,2 2 0,2 1,103 40 3,6 2 2 → F D = 32,7   N

Agora podemos calcular também o peso do tronco de pinho, que será dado por:

W = ρ V g

Sendo o volume dado pela área transversal vezes o comprimento do tronco, então teremos:

W = ρ π D 2 L 4 g → W = ρ π D 2 L g 4

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

W = 513 π 0,2 2 2 9,81 4 → W = 316,2   N

Passo 3

Então, a força resultante aplicada no tronco pode ser dada pela soma vetorial do peso e da força de arrasto, então teremos:

F R 2 = F D 2 + W 2 → F R = F D 2 + W 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

F R = 32,7 2 + 316,2 2 → F R = 317,9   N

E, então, podemos encontrar a direção do ângulo θ sabendo que temos um triângulo retângulo, com catetos F D e W , então, o ângulo θ poderá ser encontrado através de:

tg ⁡ θ = W F D → θ = tg - 1 ⁡ W F D

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

θ = tg - 1 ⁡ 316,2 32,7 → θ = 84,1   °

Resposta

F R = 317,9   N

θ = 84,1   °

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