Enunciado

A densidade do ar atmosférico varia com a altitude, diminuindo com o aumento da altitude. (a) Usando os dados da tabela, obtenha a relação da variação da densidade com a altitude e calcule a densidade na altitude de 7000 m. (b) Calcule a massa da atmosfera usando a correlação que você obteve. Suponha que a Terra seja uma esfera perfeita com raio de 637 km e considere que a espessura da atmosfera seja 25 km.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, assumimos inicialmente que:

1. O ar atmosférico se comporta como um gás ideal.

2. A terra é perfeitamente esférica com um raio de 6377 km no nível do mar, e a espessura da atmosfera é de 25 km.

Então, devemos encontrar uma equação característica para a tabela dada no problema, que relaciona a altitude com a densidade do ar atmosférico. Para isso, vamos utilizar o software EES.

Passo 2

Letra a) Primeiramente, admitimos que o raio r = z + 6377 km, em que z representa a altitude. Inserindo essa relação encontramos uma tabela parecida com a mostrada no problema:

Onde: ρ é dado em k g m 3 .

Passo 3

A partir da tabela encontrada, podemos gerar um gráfico que relaciona a altitude z com a densidade do ar ρ :

É possível perceber também que, utilizando uma ferramenta do EES, podemos achar uma equação do segundo grau (curva) característica para tal problema.

Portanto, substituindo o z = 7000   m e resolvendo a equação do segundo grau encontrada, temos que:

Para z = 7   k m         →     ρ = 0,600 k g m 3

Passo 4

Letra b) A massa da atmosfera pode ser encontrada como:

Onde r 0 = 6377 km é o raio da terra, h = 25 km é a espessura da atmosfera. Além disso, a = 1,20252, b = -0,101674 e c = 0,0022375 são as constantes na função de densidade mostrada no gráfico da curva característica encontrada para essa relação.

Substituindo e multiplicando pelo fator 10 9 para converter a densidade de unidades de k g / m ³ em k g / k m ³ , a massa da atmosfera é determinada em aproximadamente:

m = 5,09 * 10 18   k g

Resposta

Portanto:

Letra a) ρ = 0,600 k g m 3

Letra b)   m = 5,09 * 10 18   k g

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