Enunciado

O diagrama de Moody dá o fator de atrito de Darcy, f , em termos do número de Reynolds e da rugosidade relativa. O fator de atrito de Fanning para escoamento em tubo é definido como:

f F = τ w 1 2 ρ V - 2

em que τ w é a tensão de cisalhamento na parede do tubo. Mostre que a relação entre os fatores de atrito de Darcy e de Fanning, para escoamento completamente desenvolvido, é dada por f = 4 f F .

Passo 1

Neste problema devem ser avaliados os fatores de atrito de Darcy e de Fanning para um escoamento completamente desenvolvido.

O fator de atrito de Darcy é obtido a partir da Eq. 8.34, a qual retrata a perda de carga ao longo de um escoamento completamente desenvolvido como sendo:

h l = f L D V - 2 2

Como hipótese para a resolução do problema são definidas:

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento completamente desenvolvido ( V 1 = V 2 ) ;

- escoamento horizontal ( z 1 = z 2 e força de campo nula - F B x = 0 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2 ,   );

- α ≈ 1,0 ;

- seção transversal constante ( A 1 = A 2 ) ;

- queda de pressão p 1 - p 2 = ∆ p ;

- tubo de comprimento L .

Passo 2

Usando a Equação de Energia, em J/kg, entre as seções 1 e 2:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l

h l = p 1 ρ - p 2 ρ + α V 1 2 2 - α V 2 2 2 + g z 1 - g z 2

Então:

h l = p 1 - p 2 ρ + α V 1 2 - V 2 2 2 + g ( z 1 - z 2 )

Sabendo que p 1 - p 2 = ∆ p , V 1 = V 2 e z 1 = z 2 , a perda de carga é escrita como:

h l = ∆ p ρ

Assim, para escoamento completamente desenvolvimento ao longo de tubulação horizontal a perda de carga é igual a queda de pressão.

Passo 3

Igualando a perda de carga definida no Passo 1 e aquela calculada a partir da Equação da Energia:

f L D V - 2 2 = ∆ p ρ

Então a queda de pressão é definida como:

∆ p = f L D ρ V - 2 2

Passo 4

O fator de atrito de Fanning foi apresentado em termos da tensão de cisalhamento na parede do tubo, então é necessário aplicar um Balanço de Quantidade de Movimento (relação integral) entre as seções 1 e 2:

F x = F s x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ d ∀ + ∫ S C u ρ V → ∙ d A →

F s x + 0 = 0 + ∫ S C 1 u ρ V → ∙ d A → + ∫ S C 2 u ρ V → ∙ d A →

F s x = - V 1 ρ 1 V 1 A 1 + V 2 ρ 2 V 2 A 2

Em função das hipóteses do problema, pode-se afirma que o fluxo de quantidade de movimento nas superfícies S C 1 e S C 2 são iguais:

V 1 ρ 1 V 1 A 1 = u 2 ρ 2 V 2 A 2

Logo:

F s x = 0

Passo 5

Sabendo que a equação de Balanço de Quantidade de Movimento se reduziu a:

F s x = 0

E que F s x representam as forças de superfície (força devido à pressão e à tensão de cisalhamento), então ela pode ser escrita como:

F s x = p 1 A 1 - τ w × A s u p e r f i a l   d o   t u b o - p 2 A 2 = 0

Nota: sinal positivo no sentido do eixo x.

p 1 π D 2 4 - τ w × ( π D L ) - p 2 π D 2 4 = 0

Então, isolando o termo τ w :

τ w × π D L = p 1 π D 2 4 - p 2 π D 2 4

τ w × π D L = π D 2 4 ( p 1 - p 2 )

Logo:

τ w = D 4 L ( p 1 - p 2 )

Rearranjando o termo de diferença de pressão para escrever o termo queda de pressão ( ∆ p ), a tensão de cisalhamento na parede é dada por:

τ w = D ∆ p 4 L

Passo 6

Escrevendo ∆ p como função de τ w :

τ w = D ∆ p 4 L

∆ p = 4 τ w L D

Passo 7

Reescrendo a equação de queda de pressão (Passo 3) considerando a expressão de ∆ p como função de τ w (Passo 6):

∆ p = f L D ρ V - 2 2

4 τ w L D = f L D ρ V - 2 2

Então, o termo τ w pode ser escrito como:

τ w = f ρ V - 2 8

Passo 8

Utilizando a expressão do fato de atrito de Fanning:

f F = τ w 1 2 ρ V - 2

E sabendo que:

τ w = f L D ρ V - 2 8

O parâmetro f F poderá ser reescrito como:

f F = 1 1 2 ρ V - 2 f ρ V - 2 8

f F = 2 ρ V - 2 f ρ V - 2 8

Então tem-se que:

f F = f 4

Ou ainda pode-se afirmar que o fator de atrito de Darcy é dado por:

f = 4 f F

Resposta

f = 4 f F

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