Enunciado

Um medicamento líquido, com a viscosidade e a massa específica da água, deve ser administrado através de uma agulha hipodérmica. O diâmetro interno da agulha é 0,25 mm e o seu comprimento é de 50 mm. Determine (c) a correspondente tensão de cisalhamento na parede.

Passo 1

Neste item é solicitada a tensão de cisalhamento na parede da agulha. Como não é conhecido o valor de queda de pressão, não será possível usar a expressão obtida no item b.

Então, será necessário o uso da definição de tensão de cisalhamento de fluido não-newtoniano, expressa por:

τ w = μ ∂ u ∂ r

Nota-se que será necessário o campo de velocidade.

Por se tratar de um escoamento completamente desenvolvido em tubo de seção circular, o perfil de velocidade é conhecido e vale:

u = u m a x 1 - r R 2

Passo 2

Agora é possível o cálculo da tensão de cisalhamento, segundo:

τ w = - μ ∂ ∂ r u m a x 1 - r R 2

Realizando a derivada da função velocidade e avaliando em r = R :

τ w = - μ - u m a x 2 r R 2 r = R

τ w = 2 μ u m a x R R 2

Logo, a expressão da tensão de cisalhamento na parede da seringa é definida por:

τ w = 2 μ u m a x R

Passo 3

É conhecido que nesse tipo de escoamento a velocidade u m a x (no centro da seringa) pode ser escrita em função da velocidade média ( V - ) seguinte forma:

u m a x = 2 V -

Assim, a tensão de cisalhamento pode ser escrita como:

τ w = 2 μ ( 2 V - ) R

τ w = 4 μ V - R

Como o problema forneceu o diâmetro, a expressão de τ w pode ficar em função de todos os parâmetros fornecidos da seguinte forma:

τ w = 4 μ V - D / 2

τ w = 8 μ V - D

Passo 4

É conhecida a vazão do escoamento, bem como a viscosidade e o diâmetro, então a expressão de τ w (obtida no Passo 3) será reescrita a fim de conter o parâmetro vazão ( Q ):

Q = V - × A

Logo a velocidade média pode ser escrita em função da vazão como:

V - = Q A

Então:

τ w = 8 μ Q A D

Sendo a área da seção transversal da seringa definida por:

A = π D 2 4

De forma que:

τ w = 8 μ Q π D 2 4 D

τ w = 32 μ Q π D 3

Considerando que o problema está sendo definido usando a viscosidade cinemática, então a expressão da tensão limite a ser utilizada é a seguinte:

τ w = 32 ( ν ρ ) Q π D 3

Passo 5

Usando os valores numéricos de υ (valor de 10 - 6   m 2 / s   para água à temperatura de 20°C), ρ (valor de = 1000   k g / m 3 ), Q (valor de 4,52 × 10 - 7   m 3 / s conforme item 1) e de D (valor de 0,25   m m ):

τ w = 32 × 10 - 6 × 1000 × 4,52 × 10 - 7 π × ( 0,25 × 10 ^ - 3 ) 3

Então, a tensão de cisalhamento na parede da seringa é de:

τ w = 294,7   P a

Passo 6

Com o valor da tensão de cisalhamento é possível calcular a queda de pressão necessária segundo a expressão obtida no item b:

∆ p = 4 L D τ w

∆ p = 4 × ( 50 × 10 - 3 ) 0,25 × 10 - 3 294,7

Então, é necessário uma queda de pressão de:

∆ p ≅ 235.760   P a

Resposta

τ w = 294,7   P a

∆ p ≅ 235.760   P a

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