Enunciado

Um disco com 20   m m de diâmetro está coberto por uma película de água. Sob condições de regime estacionário, um aquecedor com potência de 200   m W é necessário para manter o sistema disco-película de água a 305   K em meio ao ar seco a 295   K . A taxa de evaporação observada é igual a 2,55 × 10 - 4   k g / h .

(a) Calcule o coeficiente de transferência de massa por convecção médio, h - m , para o processo de evaporação.

(b) Calcule o coeficiente de transferência de calor por convecção médio, h - .

(c) Os valores de h - m e h - satisfazem a analogia termo-mássica?

(d) Sendo a umidade relativa do ar ambiente, a 295   K , aumentada de 0 (ar seco) para 0,50 , mas o suprimento de energia para o aquecedor mantido em 200   m W , a taxa de evaporação aumenta ou diminui? A temperatura no disco aumenta ou diminui?

Passo 1

O item (a) nos pede para encontrar o coeficiente de transferência de massa h - m . Para isso, temos a informação de que a taxa de evaporação é de m ˙ = 2,55 × 10 - 4   k g / h e que a água está na temperatura T s = 305   K . Além disso, para resolver vamos considerar que o ar está seco ( ρ A , ∞ = 0 ) e que o disco pode ser aproximado para um círculo de diâmetro D = 20   m m .

O primeiro passo é reunir as propriedades da água na temperatura de evaporação. Pela tabela A-6 do apêndice A:

v ^ a , s = 29,74   m 3 / k g

Aplicando a relação de taxa mássica:

m ˙ = h - m A ( ρ A , s - ρ A , ∞ )

2,55 × 10 - 4 k g h = 2,55 × 10 - 4 3600 k g s = h - m π D 2 4 1 v ^ a , s - 0

h - m = 2,55 × 10 - 4 × 4 × 29,74 3600 π 20 × 10 - 3 2

h - m = 6,71 × 10 - 3   m / s

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Neste item devemos obter o coeficiente de transferência de calor por convecção.

Como primeiro passo, vamos fazer um balanço de energia no sistema. Considerando que estamos em regime estacionário e que não há geração de energia ficamos com:

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r

0 = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a

E ˙ e n t = E ˙ s a í d a

Para este sistema temos energia sendo fornecida pelo aquecedor e perdas de calor por convecção e evaporação. Então:

P a q = q c o n v + q e v

Podemos escrever as taxas de transferência como:

q c o n v = h - A ( T s - T ∞ )

E

q e v = m ˙ ∆ H e v

Em que

∆ H e v = 2426000   J / k g

De acordo com os dados da tabela A-6 do apêndice A para água a T s = 305   K .

Substituindo na relação de balanço de energia:

P a q = q c o n v + q e v

200 × 10 - 3 = h - π D 2 4 ( 305 - 295 ) + 2,55 × 10 - 4 3600 × 2426000

h - = 200 × 10 - 3 - 2,55 × 10 - 4 3600 × 2426000 × 4 π 20 × 10 - 3 2 ( 305 - 295 )

h - = 8,96   W / m 2 K

Passo 3

Agora que temos os coeficientes de transferência de massa e calor podemos ir para o item (c). Neste item devemos verificar se estes coeficientes atendem à analogia termo-mássica.

A analogia é dada por:

h - h - m = ρ c p L e 2 / 3

Vamos calcular separadamente cada lado da equação e verificar se encontramos valores similares. Tudo bem?

Começando com o lado esquerdo:

h - h - m = 8,96 6,71 × 10 - 3

h - h - m = 1336,7 J m 3 K

Para o lado direito precisaremos das propriedades do ar na temperatura de filme. A temperatura de filme é:

T f = T s + T ∞ 2

T f = 305 + 295 2 = 600 2

T f = 30 0   K = 2 7 ° C

Pelas tabelas A-4 e A-8 do apêndice A:

k = 0,02 63   W / m K

ρ = 1,1614   k g / m 3

c p = 1007   J / k g K

D A B = 0,26 × 10 - 4   m 2 / s

Vamos agora calcular o número de Lewis:

L e = k ρ c p D A B

L e = 0,02 63 1,1614 × 1007 × 0,26 × 10 - 4

L e = 0,86

O lado direito da equação é:

ρ c p L e 2 / 3 = 1007 × 1,1614 × 0,86 2 / 3

ρ c p L e 2 / 3 = 1061,7 J m 3 K

Como chegamos em valores distintos ( 1336,7 ≠ 1061,7 ) concluímos que a analogia não é válida para este caso

Passo 4

Passamos agora ao item (d). Vamos avaliar o que aconteceria se aumentarmos a umidade relativa do ar para 0,50 .

Primeiro, com relação à taxa de evaporação. Ela é dada por:

m ˙ = h - m A ( ρ A , s - ρ A , ∞ )

Para o caso anterior consideramos ρ A , ∞ = 0 , mas agora, ρ A , ∞ > 0 . Então, a diferença ( ρ A , s - ρ A , ∞ ) irá ter um valor menor. Considerando que o coeficiente de transferência de massa e a área se mantém, podemos esperar que a taxa de evaporação irá diminuir. Tudo bem?

Veremos agora o que ocorre com a temperatura do disco. Pelo balanço de energia vimos que:

P a q = q c o n v + q e v

P a q - q e v = q c o n v

Aplicando as relações para taxa de calor perdida por evaporação e convecção:

P a q - m ˙ ∆ H e v = h - A ( T s - T ∞ )

Como acabamos de ver, a taxa de evaporação diminuiu então, a diferença P a q - q e v terá um valor superior ao que encontramos anteriormente. Considerando que o coeficiente convectivo, a área do disco e a temperatura do ar irão se manter constantes, a única forma de manter a igualdade é se a temperatura do disco aumentar.

Resposta

(a) h - m = 6,71 × 10 - 3   m / s .

(b) h - = 8,96   W / m 2 K .

(c) A analogia não é válida para esta situação.

(d) Caso a umidade do ar aumente, o esperado é que a taxa de evaporação diminua e a temperatura do disco seja aumentada.

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