Enunciado

Um processo industrial envolve a evaporação de uma fina película de água sobre uma superfície curva, através do seu aquecimento pela sua parte inferior e pelo escoamento forçado de ar na parte superior. Medidas em laboratório nesta superfície forneceram a seguinte correlação para a transferência de calor:

N u - L = 0,43 R e L 0,58 P r 0,4

O ar escoando sobre a superfície possui uma temperatura de 290   K , uma velocidade de 10   m / s e encontra-se completamente seco ( ∞ = 0 ) . A superfície possui um comprimento de 1   m e uma área de 1   m 2 . Energia é fornecida ao sistema em quantidade suficiente para manter a temperatura de 310   K , no regime estacionário.

(a) Determine o coeficiente de transferência de calor e a taxa na qual a superfície perde calor por convecção.

(b) Determine o coeficiente de transferência de massa e a taxa de evaporação ( k g / h ) da água na superfície.

(c) Determine a taxa de energia que deve ser fornecida à superfície para manter essas condições.

Passo 1

No item (a) temos uma superfície a T s = 310   K , de comprimento L = 1   m e área A = 1   m 2 . Ar seco ρ A , ∞ = 0 na temperatura de T ∞ = 290   K e velocidade v = 10   m / s escoa sobre a superfície e temos que encontrar o coeficiente de transferência de calor por convecção. Tudo bem?

Vamos começar calculando a temperatura de filme do ar para, então, encontrar as propriedades do fluido nesta temperatura. A temperatura de filme é dada por:

T f = T s + T ∞ 2

T f = 290 + 310 2 = 600 2

T f = 300   K = 27 ° C

Para esta temperatura as propriedades do ar (Tabela A - 4 , Apêndice A) são:

ϑ = 15,89 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,707

k = 26,3 × 10 - 3   W / m K

Para obter o coeficiente convectivo vamos utilizar a fórmula de Nusselt fornecida pelo enunciado, mas antes, precisamos determinar o número de Reynolds para esta situação. Vamos a ele:

R e L = v L ϑ

R e L = 10 × 1 15,89 × 10 - 6

R e L = 6,293 × 10 5

Aplicando a relação de Nusselt:

N u - L = 0,43 R e L 0,58 P r 0,4

N u - L = 0,43 × 6,293 × 10 5 0,58 × 0,707 0,4

N u - L = 864,14

Pela definição do número de Nusselt:

N u - L = h - L k

h - = N u - L k L

h - = 864,14 × 26,3 × 10 - 3 1

h - = 22,73   W / m 2 K

Ainda dentro do item (a), devemos usar o coeficiente convectivo para determinar a taxa de perda de calor.

A taxa de transferência de calor por convecção é calculada por:

q c o n v = h - A T s - T ∞

q c o n v = 22,73 × 1 × 310 - 290

q c o n v = 454,5   W

Passo 2

Para o item (b) precisamos obter o coeficiente de transferência de massa. Para isso, vamos aplicar a analogia de transferência de calor e massa. Ela diz que o método para obtenção do coeficiente é similar, tomando o cuidado de substituir os adimensionais e propriedades relativas à transferência de calor pelos seus equivalentes para um processo de transferência de massa.

Começando pelas propriedades da mistura ar-água na temperatura de filme (Tabelas A - 6 e A - 8 , Apêndice A):

D A B = 0,26 × 10 - 4   m 2 / s

v ^ A T s = 22,93   m 3 / k g

O adimensional análogo à Prandtl é o número de Schmidt:

S c = ϑ D A B

S c = 15,89 × 10 - 6 0,26 × 10 - 4

S c = 0,611

Para o número de Nusselt, o equivalente em transferência de massa é Sherwood. Então, podemos aplicar a relação:

N u - L = 0,43 R e L 0,58 P r 0,4

S h - L = 0,43 R e L 0,58 S c 0,4

S h - L = 0,43 × 6,293 × 10 5 0,58 × 0,611 0,4

S h - L = 815,2

O número de Sherwood é definido como:

S h - L = h - m L D A B

h - m = S h - L D A B L

h - m = 815,2 × 0,26 × 10 - 4 1

h - m = 2,12 × 10 - 2   m / s

A partir do coeficiente, podemos calcular a taxa de transferência de massa pela relação:

m ˙ = h - m A ( ρ A , s - ρ A , ∞ )

m ˙ = h - m A ( 1 / v ^ A T s - 0 )

m ˙ = 2,12 × 10 - 2 × 1 × ( 1 / 22,93 )

m ˙ = 9,243 × 10 - 4 k g s = 3,33 k g h

Passo 3

Finalmente, vamos para o item (c). Este item nos pede para determinar o calor que deve ser fornecido para manter todas estas condições.

Vamos considerar que o sistema está em regime permanente. Além disso, temos perda de energia por convecção e por evaporação. Então, o balanço de energia para este sistema é:

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a

0 = q f - ( q c o n v + q e v )

q f = q c o n v + q e v

Já calculamos o calor transferido poir convecção no item (a). Precisamos então determinar a energia perdida pela evaporação da água. Na temperatura de T s = 310   K (Tabela A - 6 , Apêndice A):

∆ H e v = 2414000   J / k g

A relação para determinar o calor é:

q e v = m ˙ ∆ H e v

q e v = 9,243 × 10 - 4 × 2414000

q e v = 2231,4   W

Então a energia que precisa ser fornecida é:

q f = 454,5 + 2231,4  

q f = 2686   W

Resposta

(a) h - = 22,73   W / m 2 K

q c o n v = 454,5   W .

(b) h - m = 2,12 × 10 - 2   m / s

m ˙ = 3,33 k g h .

(c) q f = 2686   W .

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