Enunciado

Quando a dissipação viscosa é incluída, a Equação 8.48 (multiplicada por ρ c p ) se torna:

ρ c p u . ∂ T ∂ x = k r ∂ ∂ x ∂ T ∂ x + μ ∂ T ∂ x 2

Esse problema analisa a importância da dissipação viscosa. As condições em consideração são de um escoamento laminar, plenamente desenvolvido em um tubo circular, com u dada pela Equação 8.15.

  1. Integrando o lado esquerdo em uma seção do tubo de comprimento L e raio r 0 , mostre que esse termo fornece o lado direito da Equação 8.34.
  2. Integre o termo da dissipação viscosa no mesmo volume.
  3. Ache o aumento de temperatura causado pela dissipação viscosa, igualando os dois termos calculados anteriormente. Use as mesmas condições do Problema 8.9.

Passo 1

Animados para continuar?!

Então vamos que vamooos !!

Para a letra (a) nós queremos integrar o lado esquerdo da equação, como precisamos levar em conta a variação do comprimento e do raio vamos obter uma integral dupla:

∫ 0 L ∫ A c ρ c p u . ∂ T ∂ x . d A c . d x

Adaptando esta equação:

∫ 0 L d d x ∫ A c ρ c p u . T . d A c . d x

A equação 8.24 nos diz que:

∫ A c ρ c p u . T . d A c = m ˙ c p T m

Então vamos substituir:

∫ 0 L d d x m ˙ c p T m . d x = ∫ 0 L m ˙ c p . d T m = m ˙ c p T m | L 0

Aplicando o intervalo:

∫ 0 L ∫ A c ρ c p u . ∂ T ∂ x . d A c . d x = m ˙ c p T m , L - T m , 0

Se lembramos que a equação 8.34 é:

q c o n v = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t r a

O que comprova o que queríamos:

∫ 0 L ∫ A c ρ c p u . ∂ T ∂ x . d A c . d x = q c o n v

Acabamos a letra (a), mas ainda temos a (b), ok?

Passo 2

Na letra (b) nós queremos integre o termo da dissipação viscosa no mesmo volume!!

O termo de dissipação viscosa é dado por:

∫ 0 L ∫ A c μ . ∂ u ∂ r 2 . d A c . d x

A área da seção circular é dada por:

A c = π r 2

d A c = 2 π r d r

Então:

∫ 0 L ∫ A c μ . ∂ u ∂ r 2 . d A c . d x = ∫ 0 L ∫ 0 r 0 μ . ∂ u ∂ r 2 . 2 π r d r . d x

O perfil de velocidade é dado pela equação 8.15:

u r = 2 u m 1 - r r 0 2

∂ u ∂ r = - 4 u m r r 0 2

Na integral:

= ∫ 0 L ∫ 0 r 0 μ . - 4 u m r r 0 2 2 . 2 π r d r . d x

= 2 π μ ∫ 0 L ∫ 0 r 0 16 u m 2 r 2 r 0 4 . r . d r . d x

= 32 π μ u m 2 r 0 4 ∫ 0 L ∫ 0 r 0 r 3 . d r . d x

= 32 π μ u m 2 r 0 4 ∫ 0 L r 0 4 4 . d x

= 8 π μ u m 2 ∫ 0 L d x

= 8 π μ u m 2 L

Portanto:

∫ 0 L ∫ A c μ . ∂ u ∂ r 2 . d A c . d x = 8 π μ u m 2 L

Passo 3

Na letra (c) nós queremos calcular o aumento de temperatura causado pela dissipação viscosa, igualando os dois termos calculados anteriormente, certo?

Portanto nós já sabemos que:

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t r a = 8 π μ u m 2 L

Lembrando que:

u m = m ˙ ρ A c = 4 m ˙ ρ π D

Então:

m ˙ c p ∆ T m , = 8 π μ 4 m ˙ ρ π D 2 L

O problema 8.9 nos disse que:

m ˙ = 500 k g s

c p = 2000 J k g K

μ = 0,765 N . s m 2

ρ = 900 k g m 3

D = 1,2   m

L = 100000   m

Substituindo:

500 k g s 2000 J k g K ∆ T m , = 8 π 0,765 N . s m 2 4 × 500 k g s π × 900 k g m 3 × 1,2   m 2 100000   m

∆ T m , = 0,46 ° C

Essa foi legal, não foi?

Resposta

  1. ∫ 0 L ∫ A c ρ c p u . ∂ T ∂ x . d A c . d x = q c o n v ;
  2. ∫ 0 L ∫ A c μ . ∂ u ∂ r 2 . d A c . d x = 8 π μ u m 2 L ;
  3. ∆ T m , = 0,46 ° C .
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