Enunciado

A distribuição de velocidade em um campo de escoamento bidimensional e em regime permanente no plano xy é V = A x - B i ^ + C - A y j ^ , em que A   =   2   s - 1 ,   B   =   5   m   ·   s - 1   e   C   =   3   m   ·   s - 1 ; as coordenadas são medidas em metros e a distribuição das forças de campo é g →   = - g k ^ .   O campo de velocidade representa o escoamento de um fluido incompressível? Encontre o ponto de estagnação do campo de escoamento. Obtenha uma expressão para o gradiente de pressão no campo de escoamento. Avalie a diferença de pressão entre o ponto (x, y) = (1, 3) e a origem se a massa específica for 1,2 kg/m3.

Passo 1

Pessoal, primeiro devemos confirmar se o campo de velocidade dado representa o escoamento de um fluido incompressível. Para isto, temos que usar a equação da continuidade que diz:

d ρ d t + ∇   ∙ ρ V → = 0

Para um fluido incompressível, ρ é constante, logo a equação fica:

∇   ∙ V → = 0

Que para um escoamento em 2D nada mais é que:

d u d x + d u d y = 0

Onde:

V → = u i ^ + v j ^

Pelo enunciado:

V → = u i ^ + v j ^ = 2 x - 5 i ^ + 3 - 2 y j ^

Vamos então substituir na equação da continuidade em 2D e incompressível:

d u d x + d v d y = 0

d 2 x - 5 d x + d ( 3 - 2 y ) d y = 0

2 - 2 = 0

Portanto, o fluido é incompressível!

Passo 2

A questão também pede o ponto de estagnação. É chamado ponto de estagnação, o ponto em que ponto V → = 0 . Vamos então encontra-lo:

V → = 2 x - 5 i ^ + 3 - 2 y j ^

E m   i ^ :     2 x - 5 = 0 → x = 5 / 2   E m   j ^ :     3 - 2 y = 0 → y = 3 / 2  

Então, o ponto de estagnação é:

x , y = 5 2 , 3 2

Passo 3

A expressão para o gradiente de pressão pode ser obtida a partir da equação de Euler para escoamento incompressível e não viscoso, dada pela equação 6.1 do livro:

∇ ∙ p = ρ g → - ρ D V → D t  

Abrindo a expressão, temos:

∇ ∙ p = ρ g → - ρ ∂ V → ∂ t + u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z

Como o regime é permanente, então d V → d t = 0 . Além disso, não há escoamento na direção z, logo w d V → d z = 0 . A expressão fica então:

∇ ∙ p = ρ g → - ρ u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Substituindo os valores:

∇ ∙ p = - ρ g k ^ - ρ 2 x - 5 ( 2 ) i ^ + 3 - 2 y ( - 2 ) j ^

Ajeitando a equação, temos a resposta:

∇ ∙ p = - ρ 4 x - 10 i ^ + - 6 + 4 y j ^ + g k ^  

Passo 4

A partir da equação encontrada no Passo 3, podemos encontrar a diferença de pressão entre a origem e o ponto (x,y)=(1,3), onde a massa específica vale 1,2kg/m³.

Vamos primeiro abrir o divergente de pressão na expressão encontrada acima:

∇ ∙ p = ∂ p ∂ x i ^ + ∂ p ∂ y j ^ + ∂ p ∂ z k ^ = - ρ 4 x - 10 i ^ + - 6 + 4 y j ^ + g k ^

Temos então que:

∂ p ∂ x = - ρ 4 x - 10 ∂ p ∂ y = - ρ - 6 + 4 y ∂ p ∂ z = - ρ g                                    

Agora, vamos aplicar a definição de diferencial para a pressão:

d p = ∂ p ∂ x d x + ∂ p ∂ y d y + ∂ p ∂ z d z

Substituindo os valores encontrados acima, temos:

d p = - ρ 4 x - 10 d x - ρ - 6 + 4 y d y - ρ g d z

Agora basta integrar os dois lados da equação entre no intervalo pedido no enunciado:

P 1,3 - P 0,0 = - ρ ∫ 0 1 4 x - 10 d x + ∫ 0 3 - 6 + 4 y d y

P 1,3 - P 0,0 = - ρ 2 x 2 - 10 x 1 0 + ( - 6 x + 2 x 2 ) 3 0

P 1,3 - P 0,0 = - ρ - 8 + 0

P 1,3 - P 0,0 = 8 ρ

P 1,3 - P 0,0 = 9,6   N / m ²

Resposta

Ponto de estagnação: x , y = 5 2 , 3 2

Gradiente de pressão: ∇ p = - ρ 4 x - 10 i ^ + - 6 + 4 y j ^ + g k ^  

Diferença de pressão entre os pontos (1,3) e (0,0): P 1,3 - P 0,0 = 9,6   N / m ²

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