Enunciado

5.48 Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre dois discos paralelos, conforme mostrado. Suponha que o escoamento é incompressível e não viscoso e que a velocidade é puramente radial e uniforme em qualquer seção. A velocidade do escoamento é V = 15   m / s em R = 75   m m . Simplifique a equação da continuidade para uma forma aplicável a este campo de escoamento. Mostre que uma expressão geral para o campo de velocidade é V → = V R r e ^ r para r i ≤ r ≤ R . Calcule a aceleração de uma partícula fluida em r = r i e r = R .

Passo 1

Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas:

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar regime permanente e, com isso,

∂ ρ ∂ t = 0

Como a velocidade só tem componente em r ,

∂ ρ V θ ∂ θ = 0

∂ ρ V z ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com:

1 r ∂ r ρ V r ∂ r = 0

Se o escoamente é incompressível, então o ρ é constante e pode sair da derivada,

ρ 1 r ∂ r V r ∂ r = 0

Dividindo por ρ dos dois lados,

1 r ∂ r V r ∂ r = 0

Integrando em r,

r V r = C

Onde C é constante.

Como em r = R , V r = V , então:

R V = C

Achamos a constante, então:

r V r = R V

V r = R r V

O campo fica:

V → = R r V e ^ r

Como queríamos demonstrar.

Passo 2

Como o problema é unidimensional em r e considerando estado estacionário, então a aceleração só vai ter componente x:

a p x = V r ∂ V r ∂ r

Como V r = R r V ,

a p x = R r V ∂ R r V ∂ r

a p x = R r V - R r 2 V

a p x = - R 2 r 3 V 2

Passo 3

Para r = r i

a p x = - R 2 r i 3 V 2

Para r = R

a p x = - R 2 R 3 V 2

a p x = - V 2 R

(Ps.: Como ele não deu o valor de r i , então vou deixar tudo com letras, ta bom? Então ta bem.)

Resposta

a p x = - R 2 r i 3 V 2

a p x = - V 2 R

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