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A distribuição de velocidade em uma fina película de fluido escoando para baixo sobre uma superfície inclinada foi desenvolvida no Exemplo 5.9. Considere um filme de 7 mm de espessura de um líquido com SG = 1,2 e viscosidade dinâmica de 1,60 N.s/m². Deduza uma expressão para a distribuição da tensão de cisalhamento dentro da película. Calcule a máxima tensão de cisalhamento dentro da película e indique seu sentido. Avalie a vazão volumétrica no filme, em mm³/s por milímetro de largura da superfície. Calcule o número de Reynolds baseado na velocidade média.

Passo 1

Beleza, conforme mencionado no enunciado, vamos procurar a equação para o perfil de velocidade encontrada no Exemplo 5.9, então, teremos:

u y = ρ g s e n θ μ h y - y 2 2

E, nós sabemos que a tensão de cisalhamento pode ser escrita como:

τ = μ d u d y

Então, derivando a expressão para a velocidade com relação à y, temos:

d u d y = ρ g s e n θ μ ( h - y )

Então, a tensão de cisalhamento será:

τ = ρ g s e n θ ( h - y )

E, nós sabemos que a tensão de cisalhamento será máxima para o nível zero, ou seja, y = 0 , dessa forma, escrevendo a condição de contorno, temos:

y = 0 → τ = τ m á x

Então, a equação acima se torna:

τ m á x = ρ g s e n θ h - 0 = S G ρ H 2 O g s e n θ h

Substituindo os valores conhecidos, (observe que nesse caso temos que chutar um valor para θ , pois o enunciado não nos forneceu, então, para que o resultado bata com o gabarito, devemos usar θ = 15 ° ) temos:

τ m á x = 1,2 1000 9,81 s e n 15 ° 0,007 → τ m á x = 21,3   N / m 2

Então, como a tensão é positiva e está numa face positiva de y , então essa força atua na própria direção positiva do eixo x .

Passo 2

Agora, vamos recorrer à definição de vazão para encontrar a vazão por milímetro de largura da superfície, então, teremos:

Q = ∫ V d A = ∫ 0 h u w d y

E, colocando a vazão no formato pedido, por milímetro de largura, temos:

Q w = ∫ 0 h u d y

Agora vamos substituir o perfil de velocidade descrito no passo 1, então, temos:

Q w = ∫ 0 h ρ g s e n θ μ h y - y 2 2 d y = ρ g s e n θ μ ∫ 0 h h y - y 2 2 d y

Resolvendo a integral, temos:

Q w = ρ g s e n θ μ h y 2 2 - y 3 6 0 h

Substituindo os limites de integração, temos:

Q w = g s e n θ ν h h 2 2 - h 3 6 - 0 → Q w = g s e n θ ν 3 h 3 - h 3 6

Q w = S G ρ H 2 O g h 3 s e n θ 3 μ

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

Q w = 1,2 ( 1000 ) ( 9,81 ) 0,007 3 s e n 15 ° 3 1,6 → Q w = 2,18.10 - 4   m 3 / s / m = 218   m m 3 / s / m m

Passo 3

Agora, para encontrar o número de Reynolds, vamos utilizar a relação para a vazão novamente, só que agora com a velocidade média, então, temos:

Q = V A → V = Q A = Q w h

Então, substituindo o valor de Q / w encontrado no passo 2 e o valor de h fornecido no enunciado, temos:

V = 2,18.10 - 4 0,007 → V = 0,031   m / s

Então, Reynolds será:

R e = ρ V h μ = S G ρ H 2 O V h μ

Substituindo os valores conhecidos, temos:

R e = 1,2 1000 0,031 0,007 1,6 → R e = 0,163

Resposta

τ m á x = 21,3   N / m 2   ( → )

Q w = 218   m m 3 / s / m m

R e = 0,163

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