Enunciado

O experimento “pitchdrop” (piche em queda) vem sendo repetido continuamente na Universidade de Queensland desde 1927 (http://www.physics.uq.edu.au/physics_museum/pitchdrop.shtml). Neste experimento, um funil com piche é usado para medir a viscosidade desse óleo. Médias de vazão em gotas são obtidas ao longo de décadas! A viscosidade é calculada usando a equação de vazão:

Q = ∀ t = π D 4 ρ g 128 μ 1 + h L

em que D é o diâmetro da vazão do funil, h é a profundidade de piche no corpo principal do funil, L é o comprimento da haste do funil e t é o lapso de tempo. Compare essa equação com a Eq. 8.13c usando a força hidrostática ao invés de um gradiente de pressão. Depois da 6ª gota em 1979, eles mediram que levava 17.708 dias para 4,7 × 10 - 5   m 3 de piche cair do bico do funil. Dadas as medições D = 9,4   m m , h = 75   m m , L = 29   m m e ρ p i c h e = 1,1 × 10 3   k g / m 3 , qual é a viscosidade do piche?

Passo 1

Neste exercício será avaliada a viscosidade do piche por meio do escoamento em um funil. Duas formulações são apresentadas empregadas:

Q = ∀ t   ( 1 ª   f o r m u l a ç ã o )

Q = π D 4 ρ g 128 μ 1 + h L   ( 2 ª   f o r m u l a ç ã o )

Os dados do escoamento e do fluido são:

- volume escoado no funil ( ∀ = 4,7 × 10 - 5   m 3   );

- tempo de escoamento ( t = 17 708   d i a s );

- diâmetro do funil ( D = 9,4   m m );

- massa específica do piche ( ρ p i c h e = 1,1 × 10 3   k g / m 3 );

- profundidade de piche no corpo principal do funil ( h = 75   m m );

- comprimento da haste do funil ( L = 29   m m ).

Passo 2

Deve-se também comparar a equação de vazão apresentada no enunciado com a Equação 8.13c, esta última definida como:

Q = π ∆ p D 4 128 μ L

Para isso a Equação 8.13c será reescrita usando a força hidrostática ao invés de um gradiente de pressão. A variação de pressão hidrostática, como visto em estática de fluidos, é dada por:

d p d z = - ρ g

Sendo que:

d p d z = ∆ p ∆ z

No caso do escoamento no funil, a altura de fluido deve ser vista segundo a altura h e o comprimento L da haste, então:

∆ z = h + L

Logo, a variação de pressão ao longo do funil pode ser escrita como:

d p d z = - ρ g = ∆ p h + L

Deve-se atentar que neste problema o termo ∆ p = p 1 - p 2 assume o valor negativo ( p 2 > p 1 por estar em uma posição inferior do funil), assim:

- ρ g = - ∆ p h + L

∆ p = ρ g ( h + L )

Então substituindo ∆ p (função da força hidrostática) na Equação 8.13c:

Q = π ρ g ( h + L ) D 4 128 μ L

Q = π D 4 ρ g 128 μ ( h + L ) L

Assim, a função vazão, em termos de força hidrostática, pode ser escrita como:

Q = π D 4 ρ g 128 μ ( h + L ) L

Q = π D 4 ρ g 128 μ h L + 1

Note que a expressão obtida é a mesma apresenta pelo problema.

Passo 3

Calculando a vazão de escoamento de piche no funil segundo a 1ª formulação:

Q = ∀ t

Q = 4,7 × 10 - 5 17708 d i a × 24 h o r a s × 60 m i n u t o s × 60 ( s )

Q = 3,07 × 10 - 14   m 3 / s

Passo 4

A partir da 2ª formulação é possível isolar o termo μ e obter a expressão da viscosidade, conforme:

Q = π D 4 ρ g 128 μ h L + 1

μ = π D 4 ρ g 128 Q h L + 1

Então, utilizando os valores numéricos apresentados no enunciado e a vazão calculada no Passo 3:

μ = π × 9,4 × 10 - 3 4 × 1,1 × 10 3 × 9,81 128 × 3,07 × 10 - 14 75 × 10 - 3 29 × 10 - 3 + 1

Então, a viscosidade do piche tem o seguinte valor:

μ = 2,42 × 10 8   P a ∙ s

Resposta

μ = 2,42 × 10 8   P a ∙ s

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