Enunciado

O perfil adimensional de velocidade para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas, com a placa superior se movendo com velocidade constante U , é mostrado na Fig. 8.6. Determine os gradientes de pressão ∂ p / ∂ x em termos de U , a e μ para os quais (a) a placa superior e (b) a placa inferior experimentam tensão de cisalhamento zero. Trace um gráfico dos perfis de velocidade adimensional para estes casos.

Passo 1

Tá legal, então, o perfil adimensional de velocidade a que o enunciado se refere é mostrado a seguir:

E, da equação 8.8 vista nessa seção, podemos escrever o perfil de velocidade como:

u = U y a + a 2 2 μ ∂ p ∂ x y a 2 - y a

E, nós sabemos que a tensão de cisalhamento é dada por:

τ = μ d u d y

Então, derivando a expressão para a velocidade em y , temos:

d u d y = U a + a 2 2 μ ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

Então, substituindo essa expressão na equação para o cisalhamento, temos:

τ = μ U a + a 2 2 μ ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

τ = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

Passo 2

Então, para que a placa superior tenha tensão de cisalhamento zero, devemos ter:

y = a → τ y x = 0

Dessa forma, substituindo esses valores na equação encontrada no passo 1, temos:

τ = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

0 = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 a a 2 - 1 a → 0 = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 1 a

∂ p ∂ x = - 2 μ U a 2

Então, como vamos precisar dos perfis de velocidade, vamos substituir essa expressão na equação para a velocidade, dessa forma, temos:

u = U y a - a 2 2 μ 2 μ U a 2 y a 2 - y a

Passo 3

Agora, repetindo o processo para a letra (b), onde queremos que a placa inferior tenha tensão de cisalhamento zero, de modo que:

y = 0 → τ y x = 0

Dessa forma, substituindo esses valores na equação encontrada no passo 1, temos:

τ = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 y a 2 - 1 a

0 = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x 2 0 a 2 - 1 a → 0 = μ U a + a 2 2 ∂ p ∂ x - 1 a

∂ p ∂ x = 2 μ U a 2

Então, como vamos precisar dos perfis de velocidade, vamos substituir essa expressão na equação para a velocidade, dessa forma, temos:

u = U y a + a 2 2 μ 2 μ U a 2 y a 2 - y a

Passo 4

O gráfico para o perfil de velocidade para o caso das letras (a) e (b) estão ilustrados a seguir:

Resposta

∂ p ∂ x = - 2 μ U a 2

∂ p ∂ x = 2 μ U a 2

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