Enunciado

Para a distribuição de velocidade do Problema P4.4, (a) determine se existe um potencial de velocidade e (b) em caso afirmativo encontre uma expressão para ϕ (x, y) e faça o esboço da linha equipotencial que passa pelo ponto (x, y) = (L/2, L/2).

Distribuição do Problema P4.4:

u = U o 1 + x L         v =   - U o y L             w = 0

Passo 1

Bora pra mais uma!

  1. Vamos determinar se existe um potencial de velocidade, vamos verificar se o escoamento é irrotacional:
  2. ω z = 1 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 1 2 0 - 0 = 0 .

    O escoamento é irrotacional, logo há uma função potencial. Dada por:

u = ∂ ϕ ∂ x ; v = ∂ ϕ ∂ y ; w = ∂ ϕ ∂ z

∂ ϕ ∂ x = U o 1 + x L ;   ∂ ϕ ∂ y = - U o y L ; ∂ ϕ ∂ z = 0

Integrando todas as equações:

ϕ x = U o x + U o x 2 2 L + C y , z ;   ϕ y = - U o y 2 2 L + C x , z ;   ϕ z = C o n s t

Daí, comparando-as, obtemos:

ϕ x , y = U o x + U o 2 L * x 2 - y 2 + C

Onde C é constante, para plotar a linha equipotencial vamos considera-la nula por conveniência.

Agora, vamos achar a função corrente para esboçar a linha equipotencial que passa pelo ponto (x, y) = (L/2, L/2).

∂ ψ ∂ y = u ; - ∂ ψ ∂ x = v

ψ x = U o x + U o x 2 2 L + c y ;   ψ y = - U o y 2 2 L + c x

ψ x , y = U o 2 l x 2 - y 2 + U o x

Então, podemos esboçar este ponto utilizando a ferramenta excell:

Resposta

  1. Há função potencial.

ϕ x , y = U o x + U o 2 L * x 2 - y 2 + C

Onde C é constante. A linha equipotencial que passa pelo ponto é esboçada abaixo:

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