Enunciado

Dois cilindros concêntricos de diâmetros D i = 30 cm e D o =   40 cm e comprimento L =   5 m são separados por ar à pressão de 1 atm. O calor é gerado no interior do cilindro de modo uniforme a uma taxa de 1.100 W/m3, e a temperatura da superfície interna do cilindro externo é 300 K. Em regime permanente, a temperatura da superfície externa do cilindro interno é

(a) 402 K

(b) 415 K

(c) 429 K

(d) 442 K

(e) 456 K

Use para o ar k =   0,03095 W/m.K, Pr=0,7111 e ϑ =   2,306x10-5 m2s.

Passo 1

Temos as dimensões dos cilindros e o taxa de calor a partir do cilindro interno. Primeiro, vamos transformar o valor de 1.100 W/m3 para W. Para isso, basta multiplicar pelo volume do cilindro interno:

q ˙ = 1100   x   ( π x D i 2 4 x L )

q ˙ = 1100   x   ( π x 0 , 3 2 4 x 5 )

q ˙ = 388,77   W

Sabemos também a temperatura da primeira superfície T 1 = 300 K.

As propriedades do ar foram dadas para T f = 100°C = 373 K.

Vamos considerar que só ocorre transferência de calor por convecção natural. A taxa de transferência por esse mecanismo é calculada por:

q ˙ = 2 π k e f ln ⁡ D o D i ( T 2 - T 1 )

Passo 2

Então, ainda precisamos da condutividade térmica efetiva. Podemos encontrá-la da seguinte forma:

k e f = 0,386 k P r 0,861 + P r 1 4 ( F c i l R a ) 1 / 4

Em que F c i l é o fator geométrico do cilindro:

F c i l = ln ⁡ D o D i 4 D o - D i 2 3 D i - 3 5 + D o - 3 5 5

Portanto, vamos primeiro calcular F c i l ; depois k e f e por fim, q ˙ . Vamos lá?

F c i l = ln ⁡ 0,4 0,3 4 0,4 - 0,3 2 3 0,4 - 3 / 5 + 0,3 - 3 / 5 5

F c i l = 0,0 7

Antes de calcular K e f vamos determinar o número de Rayleigh:

R a = g β T s - T ∞ L c 3 ϑ 2 P r  

R a = 9,81 x 1 373 x T 2 - 3 00 x 0 , 4 - 0 , 3 2 3 2,306 x 10 - 5 2 x 0,7111

R a = 4396   x T 2 - 300  

Agora k e f :

k e f = 0,386 x 0,03095 x 0,7111 0,861 + 0,7111 1 4 ( 0,07 x 4396   x T 2 - 300 ) 1 / 4

k e f = 0,041 x T 2 - 300 1 4

Passo 3

Substituindo estes valores na equação da taxa de transferência:

q ˙ = 2 π k e f ln ⁡ D o D i ( T 2 - T 1 )

q ˙ = 2 x π x 0,041 x T 2 - 300 1 4 ln ⁡ 0,4 0,3 T 2 - 300 = 388,77   W

388,77 = 0,896   T 2 - 300 5 / 4

T 2 - 300 5 / 4 = 434

T 2 = 434 4 / 5 + 300

T 2 = 428,8   K

Resposta

Alternativa (c).

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