Enunciado

Dois líquidos imiscíveis de espessura h igual estão sob cisalhamento entre uma placa fixa e outra móvel, como na Figura P4.95. A gravidade é desprezada e não há variação com x. Encontre uma expressão para (a) a velocidade na interface e (b) a tensão de cisalhamento em cada fluido. Considere escoamento laminar permanente.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

E primeiro lugar, vamos dar uma olhada na equação da continuidade pra esse problema pra ver se conseguimos tirar algo de interessante de lá:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Considerando que não temos variação de velocidade em x,   ∂ u ∂ x = 0 , portanto, ficamos com ∂ v ∂ y = 0 e v = 0 , descobrindo que u é uma função de y a apenas.

Podemos analisar também a equação de Navier-Stokes pro problema:

ρ 1,2 u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - ∂ p ∂ x + μ 1,2 ∂ ² u ∂ x ² + ∂ ² u ∂ y ²

0 = - 0 + μ 1,2 0 + ∂ ² u ∂ y ²

Ou seja, teremos:

u = a + b y

Indicando que a velocidade u varia linearmente com y .

Passo 2

Vamos agora resolver a letra (a) e achar uma expressão pra velocidade na interface u I .

E, primeiro lugar, vamos achar expressões pras tensões de cisalhamento na interface pra cada um dos fluidos, considerando a velocidade variando linearmente com y :

τ 1 = μ 1 u I h

τ 2 = μ 2 V - u I h

Considerando que na interface as tensões de cisalhamento para ambos os fluidos são iguais, podemos igualar as duas expressões acima:

μ 1 u I h = μ 2 V - u I h

E assim podemos encontrar facilmente uma expressão pra u I :

u I = μ 2 μ 1 + μ 2 V

Passo 3

Agora, vamos resolver a letra (b) e encontrar uma expressão pra tensão de cisalhamento na interface, τ I .

Basta a gente substituir u I na primeiro expressão pra τ 1 que te mostrei no passo anterior:

τ I = μ 1 μ 2 μ 1 + μ 2 V h

τ I = μ 1 μ 2 μ 1 + μ 2 V h

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) u I = μ 2 μ 1 + μ 2 V

(b) τ I = μ 1 μ 2 μ 1 + μ 2 V h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um líquido viscoso de ρeμ constantes cai por causa da gravidade entre duas placas separadas por uma distância 2h, como na Figura P4.37. O escoamento é totalmente desenvolvido, com um único componente
Mostre que a distribuição de escoamento incompressível, em coordenadas cilíndricas, v r = 0v θ = C r n v z = 0 em que C é uma constante, (a) satisfaz a equação de Navier-Stokes para apenas dois valore
Se z é “para cima”, quais são as condições das constantes a e b para as quais o campo de velocidade u = a y , v = b x , w = 0 é uma solução exata das equações da continuidade e de Navier-Stokes para e
Do Problema P4.15, o escoamento puramente radial em coordenadas polares que satisfaz a continuidade é v r = f ( θ ) / r , em que f é uma função arbitrária. Determine quais as formas particulares de f
Das equações de Navier-Stokes para escoamento incompressível em coordenadas polares (Apêndice D para coordenadas cilíndricas), encontre o caso mais geral de movimento puramente circulatório v θ r ,v r