Enunciado

Dois objetos convexos estão no interior de um grande recipiente, no qual há vácuo. As paredes do recipiente são mantidas a T 3   =   300   K . Os objetos têm a mesma área, igual a 0,2   m 2 , e a mesma emissividade, igual a 0,2. O fator de forma do objeto 1 para o 2 é F 12   =   0,3 . Embutido no objeto 2 há um aquecedor que gera 400 W. A temperatura do objeto 1 é mantida a T 1 =

200   K pela circulação de um fluido no interior de canais nele usinados. A qual taxa de calor deve ser fornecido (ou removido) pelo fluido para manter a temperatura desejada no objeto 1? Qual é a temperatura do objeto 2?

Passo 1

Falaaaaaa galerinha !!

Vamos seguindo?

Bom, o problema nos pediu para achar duas coisas, não foi? A taxa de calor fornecida ou retirada do objeto 1 e a temperatura do corpo 2, ok?

Para a taxa de radiação liquida transferida em uma superfície podemos usar a seguinte relação:

q 1 = E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1

Onde E b 1 é a potência emissiva, J 1 a radiosidade, A 1 a área e ε 1 a emissividade da superfície 1.

O que nós sabemos é:

ε 1 = ε 2 = 0,2

A 1 = A 2 = 0,2   m 2

Shoow !! Então nós precisamos achar a potência emissiva e a radiosidade!!

Vamos começar pela potência emissiva, ok?

Se lembram da fórmula?

Se não lembram não tem problema, eu ajudo vocês:

E b 1 = σ T 1 4

Lembrando que:

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4

T 1 = 200   K

T 3   =   300   K

Substituindo:

E b 1 = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4 200   K 4

E b 1 = 90,72 W m 2

Podemos aproveitar e calcular a potência para a superfície 3:

E b 3 = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4 300   K 4

E b 3 = 459,3 W m 2

Como a superfície 3 é o recipiente grande no qual estão inseridos os objetos, ele irá se comportar como corpo negro, ou seja:

J 3 = E b 3 = 459,3 W m 2

Passo 2

Bom, agora a única coisa que nós precisamos é a radiosidade!!

Quando nós conhecemos a temperatura superficial, podemos usar a seguinte equação:

q 1 = E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 2 F 13

Agora, nós só precisamos dos fatores de forma e da radiosidade para os objetos 1 e 2.

Vamos começar com os fatores de forma, ok? Porque a radiosidade será um pouquinho pior hashasha

Como os objetos são convexos:

F 11 = F 22 = 0

E:

F 12 + F 13 = 1

Se:

F 12   =   0,3

Então:

F 13 = 0,7

Se usarmos a reciprocidade:

A 1 F 12 = A 2 F 21

Como as áreas são iguais:

F 12 = F 21 = 0,3

E lembrando que:

F 21 + F 2 3 = 1

F 23 = 0,7

Vamos colocar na fórmula?

90,72 W m 2 - J 1 1 - 0,2 0,2   m 2 × 0 , 2 = J 1 - J 2 1 0,2   m 2 × 0,3 + J 1 - 459,3 W m 2 1 0,2   m 2 × 0 , 7

4,536 - 0,05 J 1 = 0,06 J 1 - 0,06 J 2 + 0,14 J 1 - 64,302

68,838 = 0,25 J 1 - 0,06 J 2                   ( 1 )

Bom, nós precisamos achar J 2 !! Que lasqueira ein !!

Passo 3

E como faremos?

Simples !!

Vamos usar a mesma relação anterior, mas ao invés do objeto 1 vamos usar para o objeto 2:

q 2 = J 2 - J 1 1 A 2 F 2 1 + J 2 - J 3 1 A 2 F 2 3

Se:

q 2 = 400   W

Vamos só substituir:

400   W = J 2 - J 1 1 0,2   m 2 × 0,3 + J 2 - 459,3 W m 2 1 0,2   m 2 × 0,7

400 = 0,06 J 2 - 0,06 J 1 + 0,14 J 2 - 64,302

464,302 = 0 , 2 J 2 - 0,06 J 1                   ( 2 )

Isolando J 2 na equação (2):

J 2 = 464,302 + 0,06 J 1 0,2

E substituindo em (1):

68,838 = 0 , 2 5 J 1 - 0,06 464,302 + 0,06 J 1 0,2                  

68,838 = 0 , 2 5 J 1 - 139,29 - 0,018 J 1

208,128 = 0 , 2 32 J 1

J 1 = 897,1 W m 2

Achando J 2 :

J 2 = 464,302 + 0,06 897,1 W m 2 0,2

J 2 = 2590,6 W m 2

E depois de tudo isso podemos achar o calor usando a fórmula do Passo 1:

q 1 = 90,72 W m 2 - 897,1 W m 2 1 - 0,2 0,2 × 0,2   m 2

q 1 = - 40,3   W

Sendo assim nós devemos remover do objeto 1 cerca de - 40,3   W de calor para que a temperatura se mantenha!!

Passo 4

Ainda precisamos achar a temperatura do corpo 2, certo?

Nós já vimos uma expressão que poderíamos usar:

E b 2 = σ T 2 4

Agora só precisamos achar E b 2 !!

E essa potência se relaciona com a taxa de transferência de calor par o corpo, como vimos nos outros passos:

q 2 = E b 2 - J 2 1 - ε 2 ε 2 A 1

Isolando:

E b 2 = J 2 + 1 - ε 2 ε 2 A 1 q 2

Substituindo:

E b 2 = 2590,6 W m 2 + 1 - 0,2 0,2 × 0,2   m 2 400   W

E b 2 = 10 590,6 W m 2

E achando a temperatura:

10590,6 W m 2 = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4 T 2 4

T 2 = 657,4   K

Tudo certo agora é só seguir pra próximaa !!

Resposta

q 1 = - 40,3   W

T 2 = 657,4   K

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