Enunciado

A eficiência de propulsão, η , de uma hélice é definida como a razão entre o trabalho útil produzido e a energia mecânica cedida ao fluido. Determine a eficiência de propulsão do barco em movimento do Problema 10.104. Qual seria a eficiência, se o barco não estivesse em movimento?

Passo 1

Tá legal! Vamos começar o exercício ilustrando o problema, conforme vimos nessa seção do livro, então, temos:

Então, a partir da equação do equilíbrio de momento na direção x apresentado no capítulo 4, temos:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Então, para o sistema de controle desenhado, onde podemos desprezar as forças de campo na direção x , ou seja, F B x = 0 , e temos regime permanente, então podemos zerar a derivada parcial no tempo, temos:

T = u 1 - ρ V 1 A 1 + u 4 ρ V 4 A 4

No entanto, devido a continuidade do sistema, sabemos que a vazão mássica é constante, então, temos:

ρ V A = ρ V 1 A 1 = ρ V 2 A 2 = ρ V 3 A 3 = ρ V 4 A 4 = m ˙

Então, substituindo isso na equação anterior, temos:

T = - V 1 m ˙ + V 4 m ˙

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação de equilíbrio de energia, também vista no capítulo 4, onde temos:

Q ˙ - W ˙ s - W ˙ c i s - W ˙ o u t r o s = ∂ ∂ t ∫ V C   e ρ d V + ∫ S C   u + p v + V 2 2 + g z ρ V → . d A →

Como não temos calor entrando ou saindo do sistema, temos Q ˙ = 0 , não temos força de cisalhamento ou trabalhos sobre o sistema que não a potência do jato, então W ˙ c i s = W ˙ o u t r o s = 0 . Como o regime de escoamento é permanente, podemos desprezar também a integral com a derivada parcial no tempo e a equação se resume a:

W ˙ = u + p v + V 1 2 2 + g z - ρ V 1 A 1 + u + p v + V 4 2 2 + g z - ρ V 4 A 4

A única propriedade do escoamento que varia nesse caso é a velocidade entre os pontos 1 e 4, então podemos cancelar todos os outros pontos. Vimos no passo 1 a continuidade do sistema, que nos dava:

ρ V 1 A 1 = ρ V 4 A 4 = m ˙

E, também sabemos, do esquema do passo 1, que V 1 = V 4 e que V 4 = V 4 , então, a equação anterior se torna:

W ˙ = V 1 2 2 - m ˙ + V 4 2 2 m ˙ → W ˙ = m ˙ 2 V 4 2 - V 1 2

Esse trabalho é o trabalho ideal do sistema, sem considerar perdas.

Passo 3

Agora, como sabemos que o trabalho útil produzido pode ser encontrado multiplicando o empuxo encontrado no passo 1 pela velocidade de entrada no sistema, então, temos:

W ú t i l = T V 1 → W ú t i l = - V 1 m ˙ + V 4 m ˙ V 1

E, a eficiência pode ser encontrada através de:

η = W ú t i l W

Substituindo as expressões encontradas, temos:

η = - V 1 m ˙ + V 4 m ˙ V 1 m ˙ 2 V 4 2 - V 1 2

Então, quando o barco está em movimento, conforme vimos no Problema 10.104, temos:

V 1 = 15   m / s ; V 4 = 30   m / s

Substituindo esses valores na expressão anterior, temos:

η = - 15 50 + 30 50 15 50 2 30 2 - 15 2 → η = 0,666 6 → η = 66,66 %

Passo 4

Agora, quando o barco está parado, temos:

V 1 = 0 ; V 4 = 45   m / s

Então, substituindo esses valores na equação para a eficiência, temos:

η = - 0 50 + 30 50 0 50 2 30 2 - 0 2 → η = 0

Resposta

η = 66,66 %

η = 0

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