Enunciado

Equações para o empuxo, potência e eficiência de dispositivos de propulsão foram deduzidas na seção 10.6. Mostre que aquelas equações podem ser combinadas para a condição de empuxo constante para obter:

η = 2 1 + 1 + F T ρ V 2 2 π D 2 4 1 2

Passo 1

Tá legal! Vamos começar o exercício ilustrando o problema, conforme vimos nessa seção do livro, então, temos:

Então, a partir da equação do equilíbrio de momento na direção x apresentado no capítulo 4, temos:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Então, para o sistema de controle desenhado, onde podemos desprezar as forças de campo na direção x , ou seja, F B x = 0 , e temos regime permanente, então podemos zerar a derivada parcial no tempo, temos:

F T = u 1 - ρ V 1 A 1 + u 4 ρ V 4 A 4

No entanto, devido a continuidade do sistema, sabemos que a vazão mássica é constante, então, temos:

ρ V A = ρ V 1 A 1 = ρ V 4 A 4 = m ˙

Então, substituindo isso na equação anterior, e sabendo que u 1 = V e u 4 = V + Δ V temos:

F T = V - m ˙ + V + Δ V m ˙ → F T = m ˙ Δ V

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação de equilíbrio de energia, também vista no capítulo 4, onde temos:

Q ˙ - W ˙ s - W ˙ c i s - W ˙ o u t r o s = ∂ ∂ t ∫ V C   e ρ d V + ∫ S C   u + p v + V 2 2 + g z ρ V → . d A →

Como não temos calor entrando ou saindo do sistema, temos Q ˙ = 0 , não temos força de cisalhamento ou trabalhos sobre o sistema que não a potência do jato, então W ˙ c i s = W ˙ o u t r o s = 0 . Como o regime de escoamento é permanente, podemos desprezar também a integral com a derivada parcial no tempo e a equação se resume a:

W ˙ = u + p v + V 1 2 2 + g z - ρ V 1 A 1 + u + p v + V 4 2 2 + g z - ρ V 4 A 4

A única propriedade do escoamento que varia nesse caso é a velocidade entre os pontos 1 e 4, então podemos cancelar todos os outros pontos. Vimos no passo 1 a continuidade do sistema, que nos dava:

ρ V 1 A 1 = ρ V 4 A 4 = m ˙

E, também sabemos, do esquema do passo 1, que V 1 = V e que V 4 = V + Δ V , então, a equação anterior se torna:

W ˙ = V 2 2 - m ˙ + V + Δ V 2 2 m ˙ → W ˙ = - m ˙ 2 V 2 + m ˙ 2 ( V 2 + 2 V Δ V + Δ V 2 )

W = m ˙ 2 ( 2 V Δ V + Δ V 2 )

Esse trabalho é o trabalho ideal do sistema, sem considerar perdas.

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação da continuidade para o sistema, apresentada no passo 1, onde temos:

ρ V A = ρ V 1 A 1 = ρ V 4 A 4 = m ˙

Então, temos:

m ˙ = ρ V A = ρ V + Δ V 2 π D 2 4

Tá legal, sabemos que a eficiência é dada por:

η = W ú t i l W

Já encontramos a expressão para W , agora, para encontrar o trabalho útil, basta multiplicar a força F T encontrada no passo 1 pela velocidade de entrada do fluido no sistema V , então, temos:

W ú t i l = F T V = m ˙ Δ V V → W ú t i l = m ˙ V Δ V

Substituindo as expressões encontradas na equação para a eficiência, temos:

η = m ˙ V Δ V m ˙ 2 ( 2 V Δ V + Δ V 2 )

Agora simplificando a expressão colocando o termo 2 V Δ V em evidência no denominador, temos:

η = m ˙ V Δ V 2 m ˙ V Δ V 2 1 + Δ V 2 V → η = 1 1 + Δ V 2 V

Vamos deixar essa equação de lado por enquanto.

Passo 4

Agora vamos retornar à equação para F T encontrada no passo 1:

F T = m ˙ Δ V

E vamos substituir a expressão encontrada para a vazão mássica no passo 3:

F T = ρ V + Δ V 2 π D 2 4 Δ V

Então, manipulando a expressão para deixarmos em função do termo Δ V / V encontrado na equação da eficiência do passo 3, para isso precisamos colocar V 2 em evidência, então:

F T = ρ V 1 + Δ V 2 V π D 2 4 Δ V V = 2 ρ V π D 2 4 1 + Δ V 2 V Δ V 2 V

Agora, para encontrar um valor para Δ V / 2 V , vamos chamar essa relação de x , então a equação se torna:

F T = 2 ρ V π D 2 4 1 + x x → 4 F T 2 ρ V π D 2 = x + x 2

x 2 + x - 2 F T ρ V π D 2 = 0

Passo 5

Então, resolvendo essa equação do 2° grau através de Bháskara, temos:

x = - 1 ± 1 2 - 4 1 - 2 F T ρ V π D 2 2 ( 1 ) = 1 2 - 1 ± 1 2 + 8 F T ρ V 2 π D 2

Então, pegando a raiz positiva do resultado, temos:

x = Δ V 2 V = 1 2 - 1 + 1 + 8 F T ρ V 2 π D 2

E, substituindo esse valor na expressão encontrada no passo 3 para a eficiência, temos:

η = 1 1 + Δ V 2 V = 1 1 + 1 2 - 1 + 1 + 8 F T ρ V 2 π D 2

Multiplicando a equação em cima e em baixo por 2, temos:

η = 2 2 - 1 + 1 + 8 F T ρ V 2 π D 2

Somando os termos 2 e - 1 do denominador e jogando o 8 de dentro da raiz para a parte de baixo para ficarmos com a equação igual a do enunciado, temos:

η = 2 1 1 + F T ρ V 2 2 . π D 2 4 → η = 2 1 + 1 + F T ρ V 2 2 π D 2 4 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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