Enunciado

Um eixo de 4 cm de diâmetro gira a 5.200 rpm no mancal de 15 cm de comprimento e de 8 cm de diâmetro externo de ferro fundido ( k = 70 W/m.K) com folga uniforma de 0,6 mm cheia com óleo lubrificante ( μ = 0,03 N.s/m2 e k = 0,14 W/m.K). O mancal é resfriado externamente por líquido, e sua superfície externa é mantida a 40°C. Ignorando a condução de calor através do eixo e considerando a transferência de calor unidimensional, determine (a) a taxa de transferência de calor para o líquido de resfriamento, (b) a temperatura da superfície do eixo, e (c) a perda da potência mecânica pela dissipação viscosa do óleo.

Passo 1

Vamos imaginar o mancal como um sistema de duas placas planas paralelas, com líquido entre elas. Umas das placas se move com uma velocidade V e a outra está parada. A superfície de uma delas está a 40°C e o fluxo de calor em y = 0 é zero.

Além disso, temos informação de que o diâmetro do eixo ( D ) é 4 cm, a frequência de rotação ( f ) é 5.200 rpm e a folga ( L ) é de 0,6 mm. As propriedades do óleo são: μ = 0,03   N s / m 2 e k = 0,14   W / m K .

Agora que já temos informação do nosso problema iremos calcular a velocidade da placa. O eixo está realizando um movimento circular. Em um movimento circular podemos calcular V a partir de sua frequência de rotação ( f ) e o raio do eixo ( R ):

V = 2 π f R

V = 2 x π x 5200 x 2 x 10 - 2 60

V = 10,9   m / s

Podemos então prosseguir para as equações de continuidade, quantidade de movimento e energia.

Passo 2

Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

δ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Em que u é a velocidade do fluido na direção x e v é a velocidade do fluido na direção y .

Vamos assumir que o escoamento do fluido é paralelo às placas, assim, v = 0 . Então:

δ u ∂ x = 0

u = u ( y )

O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u d y = μ   ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ P ∂ x

Como vimos anteriormente v = 0 e δ u ∂ x = 0 ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido a diferença de pressão, ∂ P ∂ x = 0 .

Portanto:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Integrando em y:

∫ ∂ 2 u ∂ y 2 d y = ∫ 0 d y

∂ u ∂ y = C 1

Integrando novamente:

∫ ∂ u ∂ y d y = ∫ C 1 d y

u = C 1 y + C 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes C 1 e C 2 . Para a velocidade u ( y ) as condições de contorno são:

u 0 = V

u L = 0

Em que L é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

V = C 1 x 0 + C 2 → C 2 = V

0 = C 1 x L + C 2   → C 1 = - V L

O perfil de velocidade é:

u y = V - V y L

u y = V 1 - y L

Vamos agora resolver a equação da energia. Para o escoamento entre duas placas planas paralelas a equação é:

ρ c p μ ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = k   ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

Como v = 0 e só ocorre transferência de calor na direção y :

∂ T ∂ x = 0

v ∂ T ∂ y = 0

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Portanto ficamos com:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ∂ u ∂ y 2

Temos condições de calcular ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y V 1 - y L

∂ u ∂ y = - V L

Substituindo no balanço de energia:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ - V L 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ V 2 L 2

∂ 2 T ∂ y 2 = -   μ V 2 k L 2

Integrando em y :

∫ ∂ 2 T ∂ y 2 d y = - ∫ μ V 2 k L 2 d y

∂ T ∂ y = -   μ V 2 k L 2 y + C 1

Integrando em y mais uma vez:

∫ ∂ T ∂ y d y = ∫ ( - μ V 2 k L 2 y + C 1 ) d y

T y = - μ V 2 2 k L 2 y 2   + C 1 y + C 2

As condições de contorno são:

T L = 40 ° C

q ˙ y = 0 = - k ∂ T ∂ y y = 0 = 0

A primeira se refere à temperatura do mancal e a segunda condição é que o fluxo de calor pela placa inferior é zero, já que ela está isolada. Aplicando as condições de contorno:

∂ T ∂ y = -   μ V 2 k L 2 y + C 1

- k ∂ T ∂ y y = 0 = 0

∂ T ∂ y y = 0 = 0 = -   μ V 2 k L 2 x 0 + C 1 → C 1 = 0

40 ° C = - μ V 2 2 k L 2 x L 2   + C 1 x L + C 2 → C 2 = 40 ° C + μ V 2 2 k L 2 x L 2  

Substituindo as constantes C 1 e C 2 no perfil de temperatura:

T y = 40 ° C + μ V 2 2 k L 2 x L 2   - μ V 2 2 k L 2 y 2  

T y = 40 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2 - y 2

Com o perfil de temperatura podemos calcular o fluxo de calor para o óleo a partir da superfície do mancal ( y = L ). Sabemos que a camada de fluido em contato com a parede tem a mesma velocidade que ela. Como não há diferença de velocidade o fluxo de calor ocorre por condução:

q ˙ y = L = - k ∂ T ∂ y y = L

Já calculamos a derivada de T em relação a y para descobrir o ponto de máximo. Vamos então substituir a expressão que encontramos:

q ˙ y = L = - k -   μ V 2 k L 2 y y = L

q ˙ y = 0 = μ V 2 L

q ˙ y = L = 0,03 x 10,9 2 0,6 x 10 - 3

q ˙ y = L = 5,93 x 10 3 W / m 2

Passo 3

Para encontrar a temperatura do eixo basta substituir a posição y = 0 no perfil de temperatura. Desta forma:

T e i x o = T 0 = 40 ° C + μ V 2 2 k L 2 L 2 - 0 2

T e i x o = 40 + μ V 2 2 k

T e i x o = 40 + 0,03 x 10,9 2 2 x 0,14

T e i x o = 52,7 ° C

O exercício nos pede ainda para determinar a perda de potência por dissipação viscosa. Como vimos no balanço de energia, o termo de dissipação viscosa é:

D i s s i p a ç ã o = μ φ

D i s s i p a ç ã o = μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

Como ∂ u ∂ x = 0 e v = 0 :

D i s s i p a ç ã o = μ ∂ u ∂ y 2

Já calculamos ∂ u ∂ y . Substituindo:

D i s s i p a ç ã o = μ - 10,9 L 2

D i s s i p a ç ã o = 0,03 - 10,9 0,6 x 10 - 3 2

D i s s i p a ç ã o = 9,9 x 10 6   N / m 2 s

Vamos apenas converter o nosso resultado para a unidade de potência (W). Para isso, temos que multiplicar o valor da dissipação pelo volume de óleo.

V o l u m e = π x C o m p r i m e n t o 4 ( D e x t 2 - D i n t 2 )

V o l u m e = π x 15 x 10 - 2 4 x 4 x 10 - 2 + 1,2 x 10 - 3 2 - 4 x 10 - 2 2

V o l u m e = 1,1 x 10 - 5   m 3

Multiplicando a dissipação pelo volume:

P o t ê n c i a   d i s s i p a d a = D i s s i p a ç ã o x V o l u m e

P o t ê n c i a   d i s s i p a d a = 113,6   W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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