Enunciado

Um elemento de fluido bidimensional de dimensões d x e d y é translado e distorcido como mostra a Figura P4-60 durante o período de tempo infinitesimal d t = t 2 - t 1 . As componentes da velocidade no ponto P no instante inicial são u e v nas direções x e y , respectivamente. Mostre que o módulo da taxa de rotação (velocidade angular) com relação ao ponto P no plano x y é

ω z = 1 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y

Passo 1

Bom, para realizarmos a análise para o fluxo no plano x y , precisamos mostrar que:

ω = ω z = 1 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y

Por definição, a taxa de rotação (velocidade angular) em um ponto é a taxa média de rotação de duas linhas inicialmente perpendiculares que se cruzam no ponto.

Passo 2

Nesse problema específico, as linhas a   ( P A ) e b   ( P B ) são inicialmente perpendiculares e se cruzam no ponto P. A linha a gira pelo ângulo α a , e a linha b gira pelo ângulo α b .

Portanto, o ângulo médio de rotação pode ser expresso como sendo:

α a - α b 2  

Passo 3

Durante o incremento de tempo d t , o ponto P move uma distância u d t para a direita e v d t   para cima (para a primeira ordem, assumindo que d t   seja muito pequeno).

Da mesma forma, o ponto A move uma distância:

u + ∂ u ∂ x d x d t   p a r a   a   d i r e i t a

E

v + ∂ v ∂ x d x d t   p a r a   c i m a

O ponto B se move uma distância:

u + ∂ u ∂ y d y d t   p a r a   a   d i r e i t a

E

  v + ∂ v ∂ y d y d t   a c i m a .

Passo 4

Como o ponto A está inicialmente na distância   d x à direita do ponto P, a distância horizontal do ponto P ' ao ponto A ' no momento posterior t 2 é...

d x + ∂ u ∂ x d x d t

Por outro lado, o ponto A está no mesmo nível vertical que o ponto P no tempo t 1 . Assim, a distância vertical do ponto P ' ao ponto A ' no momento t 2 é...

∂ v ∂ x d x d t

Da mesma forma, o ponto B está localizado na distância d y verticalmente acima do ponto P no tempo t 1 e, portanto, a distância horizontal do ponto P ' ao ponto B ' no tempo t 2 é...

- ∂ u ∂ y d y d t

E

d y + ∂ v ∂ y d y d t

Passo 5

Marcamos as distâncias horizontais e verticais entre o ponto A ' e o ponto P ' e entre o ponto B ' e o ponto P ' no tempo t 2 na Figura anterior.

A partir da figura, temos que:

α a = t a n - 1 ∂ v ∂ x d x d t d x + ∂ u ∂ x d x d t ≈ ∂ v ∂ x d x d t d x = t a n - 1 ∂ v ∂ x d t ≈ ∂ v ∂ x d t

A primeira aproximação na equação acima é devido ao fato de que à medida que o tamanho do elemento fluido diminui até um ponto ,   d x   →   0 e ao mesmo tempo d t   →   0 .

Portanto, o segundo termo no denominador é de segunda ordem em comparação com a primeira ordem d x e pode ser negligenciado.

A segunda aproximação na equação acima é porque, como d t   →   0 , o ângulo α a é muito pequeno e tan ⁡ α a   →   α a .

Passo 6

Da mesma forma, o ângulo α b é escrito em termos de componentes de velocidade como sendo:

α b = t a n - 1 ∂ u ∂ y d y d t d y + ∂ v ∂ y d y d t ≈ ∂ u ∂ y d y d t d y = t a n - 1 ∂ u ∂ y d t ≈ ∂ u ∂ y d t

Por fim, então, o ângulo de rotação médio:

α a - α b 2  

Se torna...

α a - α b 2 = 1 2 ∂ v ∂ x d t - ∂ u ∂ y d t = d t 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y

Resposta

E a taxa média de rotação (velocidade angular) do elemento fluido em torno do ponto P no plano x - y   se torna:

ω = ω z = d d t α a - α b 2 = 1 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y

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