Enunciado

An engineer makes careful measurements with a weir (see

Sec. 10.7) that monitors a rectangular unfinished concrete

channel laid on a slope of 18. She fi nds, perhaps with surprise, that when the water depth doubles from 2 ft 2 inches

to 4 ft 4 inches, the normal fl ow rate more than doubles,

from 200 to 500 ft3/s. (a) Is this plausible? (b) If so, estimate

the channel width.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) Verifique se a vazão normal aumenta mais que o dobro se a profundidade for dobrada:

Calcule a vazão normal:

Q = 1.486 n A R h 2 / 3 S 0 1 / 2

Onde, A é a área da seção transversal, R h é o raio hidráulico e S 0 é o raio Substituindo considerando o raio hidráulico: ( b × h ) A

R h   = A P   = b h b + 2 h

Assim, a taxa de fluxo normal reduz para,

Q = 1.486 n ( b h ) b h b + 2 h 2 / 3 S 0 1 / 2 … … ( 1 )

Passo 2

Suponha,

1.486 n S 0 2 / 3 = C Onde C está uma constanteDeixe a largura b = 1 f t

Agora, a equação (1) se reduz a

Q 1 = 1.486 n ( b h ) b h b + 2 h 2 / 3 S 0 1 / 2   = C h h 1 + 2 h 2 / 3 … …  (2) 

Quando dobramos a profundidade ( h = 2 h ) , então a equação (2) se reduz a

Q 2 = 2 C h 2 h 1 + 4 h 2 / 3 … …  ( 3 ) 

Das equações (2) e (3)

Q 2 Q 1 = 2 2 h 1 + 4 h 1 + 2 h h 2 / 3 Q 2 Q 1 = 2 2 ( 1 + 2 h ) ( 1 + 4 h ) 2 / 3 … …  ( 4 ) 

Na equação (4), para qualquer valor de profundidade h , a quantidade 2 ( 1 + 2 h ) ( 1 + 4 h ) 2 / 3 > 1 Portanto, Q 2 ≥ 2 Q 1

Passo 3

b) Profundidade da água,

h   = 4 f t + 4  in    = 4 + 4 12 f t   = 4.33 f t

Declive

S 0   = t a n ⁡ 1 ∘   = 0.017

Para concreto inacabado, o fator de Manning é n . Para profundidade de 0.014 , a taxa de fluxo normal é h = 4.33 f t

Da equação (1)

Q = 500 f t 3 / s

Q = 1.486 n ( b h ) b h b + 2 h 2 / 3 S 0 1 / 2 500 = 1.486 0.014 ( 4.33 b ) 4.33 b b + 2 × 4.33 2 / 3 0.017 1 / 2 b 4.33 b b + 8.66 2 / 3 = 500 × 0.014 ( 1.486 × 4.33 ) 0.017 1 / 2 b 4.33 b b + 8.66 2 / 3 = 8.344

Resolva pela largura, nós temos

b = 5.78 f t

Portanto, a largura do canal é b = 5.78 f t .

Resposta

a) Q 2 ≥ 2 Q 1

b) b = 5.78 f t

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